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毕达哥拉斯在铁匠铺称锤子?看似 “科学” 的故事哪里错了

‍‍‍‍编者按

毕达哥拉斯(Pythagoras,距今约2500年)是古希腊著名的数学家、哲学家,他一生勤勉好学,建树颇多。

关于毕达哥拉斯,有一个他在铁匠铺称锤子,从而发现声音和谐之 “秘密” 的故事,这个故事有鼻子有眼,流传甚广,甚至出现在了教师的培训教材和考题里。在 “科学” 的外衣下,大家似乎只是传播和接受,而不去质疑这个故事的真实性和科学性。

从音乐的和谐之美出发,本文作者用物理和音乐知识进行了层层分析,指出毕达哥拉斯的这个故事其实是错误的。作者最后讨论了科普工作者在进行科学传播的时候,应该如何尽量避免出现科学性错误。

撰文 | 吴进远

责编 | 王雨丹

 关于毕达哥拉斯,有着这样一个广为流传的故事:有一天,毕达哥拉斯路过一家铁匠铺,听到铁锤打击铁砧的声音,辨听出了四度、五度和八度三种和谐音。他猜想,是由于铁锤重量的不同导致了声音的不同,于是通过称量不同铁锤的重量确认了这种关系。他发现:和谐悦耳的敲击声是由重量为12、9、8、6磅的铁锤两两搭配时发出的。

有的文章甚至进一步发挥,说毕达哥拉斯禁不住激动地呼喊:“啊!阿波罗的和弦永远在振动!”

与这个故事一起流传的,还有下面这样一幅版画。

 

By Unknown - This image comes from Gallica Digital Library and is available under the digital ID bpt6k58171q.f36, Public Domain | wikimedia.org 

很可惜,这个故事文学上虽然生动,但科学上却是错的,应该是一个讹传。

遗憾的是,无论在中文还是英文网站,怀疑这个传说的文章是少数,大多数文章未加怀疑地接受并传播,随便搜索一下就能查到十几篇,题目包括:数学家毕达哥拉斯、数学之父毕达哥拉斯、希腊数学作为自由学术的典范、和谐概念的意义、古希腊数秘术、科学家的故事、从数学中探究音乐美、感受数学之美、闲话数学与音乐、魅力数学、音乐中的数学、毕达哥拉斯琴弦实验、音律中的数学原理、正儿八经学乐理、九年义务教育没系统教给你的一项能力、音乐背后的数学、把数学学成了宗教、原创通识课、音乐冷知识、好听的音乐是怎么来的等等。内容涵盖了科学史专家论文、经典课程教学笔记、数学通俗图书、音乐知识视频、科普文章等,有的甚至还经过了名校一级教师的科学性把关。

另外我还看到,至少有两本立意新颖、视角独特、其他内容都很好的书,里面包含了这个传说,可谓是一个讹传坏了一锅汤。不仅如此,这个故事的结论还出现在小学数学教师的培训教材,成为某些培训机构的考试题,甚至成为公民科学素质科普知识的问答题。

实际上,至少从文森佐·伽利莱(伽利略·伽利莱的父亲)那时起,就有很多人不断质疑这个传说,但遗憾的是这么多年来,始终还是相信的人多。有的中学科学教师甚至明知这个传说不是真的,但仍然认为这是一个很好的教学故事。因此,笔者觉得有必要写一篇文章,讲清楚这个传说在科学上究竟错在哪里。

为此,我们首先要讨论一下,音乐的和谐是怎么回事。

1、音乐的和谐是怎么回事

音乐和谐与否或好听与否是一种主观感受,但我们可以通过已有的声学原理,探寻这种主观感受背后的客观原因。

首先,我从手机应用商店中下载安装了一个可播放不同频率正弦波的应用软件。(读者可以用关键词Oscillator在手机应用商店搜索,可以获得多种类似的免费应用软件。)

该应用软件截屏图示

在视频中,我们依次播放 220、330、440、550、660 和 880 赫兹的正弦波,然后将 440、550、660 和 880 赫兹的正弦波一起播放。

音的频率都是110赫兹的整倍数,与现代音乐中音符的对应如下:

为了照顾不太熟悉乐理的读者,我们这里把音符、频率与唱名之间的关系做个简单的介绍。现代钢琴和大多数音乐团体都使用440赫兹作为音符A(有时标注为A4)的频率基准,其他音符的频率都由此按比例生成。我们平常唱歌时,任何音符都可以唱成 “哆”,比如在A大调中把A唱成 “哆”,把 “哆” 的频率加倍,唱出来还是 “哆” 只不过是高了八度的 “哆”。同理把频率减半,则降低八度,而音符和唱名不变。

如果一个音符的频率与 “哆” 的频率比值接近3:2,则这个音符听上去是 “嗦”,比如我们上面表中的 330 与 660 赫兹(分别对应220和440赫兹)。如果一个音符的频率与 “哆” 的频率比值接近5:4,那么这个音符听上去就是 “咪”,比如上面中的 550 赫兹(对应440赫兹)

视频中,我们将 440、550、660 和 880 赫兹的正弦波一起播放,这样一个 “哆咪嗦哆” 的音符序列是一个很多音乐作品中都会使用的和弦,这是一个非常和谐好听的频率组合。

为什么这种几个整倍数频率关系的声音组合在一起,人们会觉得好听,或者说至少不难听呢?准确的原因并不清楚,但我们可以猜测,原因之一也许是从自然感知而令人习以为常的。实际上,自然界中本来就存在着把这样一种频率组合放在一起的情形,例如,一头牛悠扬长鸣 “哞——” 的声音中,就存在基频(基音的频率,决定整个音的音高)以及基频的2、3、4、5、6 等整数倍频的成分。同样,如果我们一展歌喉,拉个长音 “啊——”,也会得到如下图所示的频谱。

图中横坐标为频率,纵坐标是每个频率成分的强度。频谱中一个个等距离的尖峰,就是我们嗓音中所包含的基频及其整数倍频成分。

像牛叫这种单一音高稳定持续的声音,比起世间其他纷扰嘈杂的声音,对人神经系统的刺激应该相对比较和缓,因而多数人不会感觉难听。

回到音乐,当若干个声音的频率之间存在简单的整倍数关系时,这些声音组合起来,大多数人听上去是和谐的。

2、毕达哥拉斯传说中的问题

在毕达哥拉斯与铁匠铺和锤子的传说中(包括上文插入的的版画),有 16、12、9、8、6、4 等数字,如果这些数字指的是频率的相对值,则没有问题。这些数字之间存在简单整数比:16/12 = 12/9 = 8/6 = 4/3 ,前面提到的 440 和 330 赫兹就是这种频率比值,这种组合起来的声音听上去的确是和谐的。

如果这些数字指的是琴弦的长度,也是说得通的。因为对于一根琴弦来说,在张力不变的情况下,其振动频率与长度成反比,这些长度成简单整数比的琴弦,振动频率也是简单整数比,也是和谐的。类似的情况如版画中右下图,这些数字指的是直管乐器的长度,而直管乐器的空气柱振动频率与长度成反比,这些长度成简单整数比的直管,其振动频率也是简单整数比,也没有问题。

问题在于在这个传说和版画的前三幅图中,这些数字指的是锤子的重量、钟或水杯的重量及琴弦的张力,这些参量与物体的振动频率之间虽然相关,但却不是正比或反比关系。因此,当这些参量存在简单整数比关系时,对应物体的振动频率不是简单整数比,发出的声音不会和谐。下面我们具体分析几个例子。

3、琴弦的张力与振动频率

我们首先分析一个比较简单的例子,版画中左下图描绘毕达哥拉斯用琴弦试验,琴弦用不同重量的重物拉紧,琴弦的张力等于重物的重量。

琴弦的振动频率由下面的公式给出,它与琴弦的长度 L、弦的张力 T 以及弦的粗细(即单位长度的质量,公式中的希腊字母μ)有关。

不难看出,在其他条件固定时,琴弦振动的频率与长度成反比,越短的弦发出的声音越尖锐。

虽然琴弦的振动频率也与张力 T 相关,拉得越紧的弦越尖锐,但它们之间有个平方根。这样一来,即使两根弦的张力之间存在简单整数比,它们振动的频率也不是简单整数比。

我们用挂了16和12单位重量重物的两根弦来具体说明。当弦的粗细以及长度相同的时候,张力比较大的弦振动频率比较高,这两根弦的张力比值为是一个简单整数比(16/12=4/3),版画的作者大概期待这两根弦的频率也是这个比值,但实际上却不是。这两根弦的振动频率比值为(4/3)的平方根,亦即:sqrt(4/3)=1.1547,不是简单整数比,因此,这两个频率的声音组合起来是不和谐的。

如果张力为 12 的那根弦振动频率为 440 赫兹,则张力为 16 的那根弦振动频率为 440x1.1547 = 508 赫兹,在钢琴上压根没有这个音符,它的频率在 B 和 C 两个键之间的 “缝” 里。如果把 440 赫兹唱成 “哆”,则 508 赫兹听上去有点像 “来”,实际上要比 “来” 高半度的一半左右。

4、锤子的重量与振动频率

金属实心物体受到激励会振动,从而发声。通常情况下,一个物体会存在多个振动模式,每一种振动模式会有不同的频率。一般而言,这些振动模式的振动频率与传说中锤子的重量(或体积)没有简单的正比或反比关系。因此,传说中所谓 “和谐悦耳的敲击声是由重量为12、9、8、6磅的铁锤两两搭配发出的” 这种情况几乎不会出现。

如果我们硬要人为地希望这种情况出现:使某一个振动模式的频率与锤子重量成正比或反比,则需要专门设计锤子的形状,比如把锤子设计成圆柱体,这样的锤子看上去更像钢钎或者金箍棒,这种金箍棒的某些纵向振动模式与其长度成反比。如果毕达哥拉斯去的铁匠铺是用这种金箍棒打铁,那么他倒是有可能通过称重认识到和谐背后的数字原因,但铁匠师傅们大概会被累死。而且这种振动模式必须沿着棒的轴线捣才能激励出来,如果横着敲,就会激励出横向振动模式,其频率不再与长度成反比,而是与长度的平方成反比。

如果不限制锤子的三维尺寸,甚至可能出现有的情况下大锤子比小锤子频率低、而有的情况下大锤子比小锤子频率高的情形。这就更无法通过称量不同铁锤的重量认识声音和谐背后的数量关系了。

5、关于钟与水杯

版画的右上图显示了几个钟,这是个值得聊一聊的话题。

 

在中国,已知最早的编钟是在湖北随州叶家山古墓出土的,年代为西周早期,距今3000多年。

随州叶家山古墓挖掘现场 | 图源:hubei.sinaimg.cn

而2500余年前的曾侯乙编钟,则更加宏伟辉煌。曾侯乙编钟在每个八度已经有了完整的十二音,可以旋宫转调(由于宫音在十二律上的位置移动而造成的调式转换)

战国曾侯乙编钟 | 图源:wikipedia.org

编钟是用青铜铸造出来的,铸造出来后,需要经过铲锉调音,才能获得需要的音高。根据曾侯乙编钟的铭文,考古学家们确认,调音是 “以弦定律”。也就是说,古代工匠们是利用琴弦的长度来确定两个音符的频率比例的。

因此,古人应该是先通过人声、管乐器与弦乐器等,师法自然,逐步认识了音律以及音符之间的和谐关系,然后才有可能制作出编钟,而不会反着来。

版画中还出现了水杯,水杯中水的质量确实会影响振动的频率,但这个影响同样不是简单的正比或者反比关系。如果将水杯简化为简谐振子(物理学中特定的重复运动质点,例如悬挂在弹簧上的质块的振动),则振动的频率与质量的平方根成反比。前面我们已经讨论过,这样一个平方根关系会破坏简单整数比,从而无法产生和谐的频率比。

6、很好的教学故事?

通过前面的分析,我们已经知道毕达哥拉斯这个传说在科学上是站不住脚的。这个故事和版画出现于毕达哥拉斯死后至少几百年,虽然写这个故事的人努力让故事符合当时人们的常识,可是如果常识不会出错,我们就不需要伽利略、牛顿、爱因斯坦和杨振宁了。

历史上的传说有很多是没有史实根据的,对于非史实传说,并不需要一概排斥,而应该具体问题具体分析。

有些传说虽然没有史实根据,但本身并没有科学性错误,这种传说是可以作为教学故事的。比如伽利略从比萨斜塔上向下抛球,牛顿被苹果砸头等。

另有一些本身是以宗教神话等面目、而不是以科学故事的面目出现的,这些也不会给受众带来误导。比如女娲补天、亚当肋骨塑造夏娃、芝麻开门等等。

而一些传说明明有科学错误,却以科学故事的面目进行传播,这是最成问题的。这类传说包括爱迪生救妈妈之类,还有本文所述毕达哥拉斯在铁匠铺称锤子的故事。希望大家今后在介绍这个故事时,至少应该说明这个故事是有科学错误的,以避免进一步传播误导性信息。

此外,笔者还看到这个传说的若干修改版本,大概修改者也意识到无法从铁锤重量得出声音和谐,于是修改成毕达哥拉斯从打铁节奏获得和谐的灵感,然后再回家发现音高上的和谐等等。笔者没有在其他出处看到过这个观察打铁节奏的说法,这种说法应该是近些年来的一些附会。

还有一个版本说:毕达哥拉斯听到不同重量的铁块发出不同声调的音,受到启发,回家还继续在琴弦上做实验,发现相同的弦在不同的负重(即不同的张力)下,会发出不同的音高;而且他发现,如果两者负重之比是2:1时,音高则相差正好八度,两者负重之比是3:2时,音高则相差五度,负重之比是4:3时,音高相差四度。这个版本用了另一个科学错误来代替原来版本的科学错误:正如我们前面所指出的,琴弦的张力和频率之间存在一个平方根的关系,而不是简单的正反比关系。比如当张力之比为2:1时,频率之比为(根号2):1,即1.414 : 1,这种情况下音高相差不是八度。

7、故事的其他版本:黄金分割比

毕达哥拉斯在铁匠铺的传说还有一个版本,说他听到打铁声音和谐(或者节奏好听)后经过称重研究,发现了黄金分割比。这种说法同样没有可信出处,至少很多研究者复述的传说中没有提及黄金分割比的事情。

音乐中不同音符的和谐,源于它们频率之间的比值为简单整数比,和黄金分割并没有关系。如果我们故意用黄金分割比(1.618 = 1/0.618)生成两个频率的声音,合在一起并不好听。比如把第一个音的频率设定为 440 赫兹,即 A 大调的 “哆”,则第二个音的频率为 440 x 1.618 = 712 赫兹。这个音在钢琴键盘上不存在,处在两个琴键的 “缝” 里,听上去有点像 “啦”,但又比 “啦” 低。

8、怎样尽量避免科普内容出现科学性错误?

科学内容的准确是科学传播文章的生命,现在的科普文章经常会在互联网上来回转载,有时还会被其他作者参考改写,甚至直接复制粘贴。因此一篇文章不慎出错,往往会造成 “流毒甚广” 的尴尬局面。毕达哥拉斯这个传说的传播者,很多都是热心的科普作者,可是出了错,还要其他热心作者花力气写文章指出错误,澄清相关科学概念。

笔者自己的文章也出过错,而更多的是所谓 “near miss”,也就是说几乎出错,但幸运地在发表前被改正了。人非圣贤孰能无过,写文章出错很难绝对避免,关键是怎样尽量减少出错。对此,笔者愿意与大家分享一下自己的看法。

首先对网上搜到的东西一定要自己理解消化,去伪存真。我们经常会有一种潜意识,以为网上搜到的东西就是对的。这就需要我们用一种显意识来克服这种潜意识,时时对科学问题的正确性保持警觉,对自己文章讲的东西要自己真的理解明白,有一说一。

另外,在写作心态上,应尽量减少非科学的成分。科普工作是件好事,其中利他成分远大于利己成分,值得而且应该做好。但如果把科学传播工作过分神圣化,把自己想象成盗火者启蒙者,把受众想象成矇昧之众,这是不行的。在这种虚假优越感的非科学心态干扰下,写作者容易误以为自己写的都对,写错了读者也不懂,因而不肯花功夫确保其内容的严谨性。

所以,对科学保持敬畏,对读者保持敬畏,这是减少科学传播内容出错的必要条件。以上所思,谨与大家共勉。 

制版编辑 卢卡斯



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