撰文｜张天祁

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AI在朝着成为杰出数学家的道路上又迈出了一步。争议也随之而来。

9月8日，OpenAI公布了一份关于纳维–斯托克斯方程（Navier–Stokes equations，简称N-S方程）存在性与光滑性问题的证明。

OpenAI称，其内部AI系统在约1万个智能体协同工作88小时后，找到了一种三维不可压缩N-S方程有限时间形成奇点的构造。随后又让GPT-6 Astra将证明形式化为Lean代码，并完成机器验证[1]。 

美国数学学会（AMS）主席Ravi Vakil和CEO John Meier公开回应称，N-S问题取得的最新进展是“人类知识的一项里程碑式进步”。他们表示，数学的目的在于增进人类理解，这项成果及其产生的过程还将长期产生影响[2]。 

01

千禧年大奖难题” 

2000年，克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）将N-S方程的存在性与光滑性问题列为七个“千禧年大奖难题”之一，并为解决者提供100万美元奖金。

这些问题覆盖数论、几何、计算机科学和数学物理等领域，被认为是20世纪数学留下的最重要问题之一。到目前为止，7个问题中只有庞加莱猜想已经解决。 

N-S方程描述水、空气等流体的运动。现实中的流体由大量分子组成，但在通常的尺度下，我们可以把它看成一种连续介质，用一个随时间变化的速度场来描述整个流体。 

数学家关心的是，这种对流体的连续介质描述，会不会在某个时刻失效？ 

具体而言，对于一个密度恒定的三维不可压缩流体，如果它从一个完全平滑的状态开始运动，速度会不会在有限时间内越来越大，最终超过任何有限的数值，出现奇点？ 

如果这种情况发生，数学上就称为出现有限时间爆破（finite-time blowup），意味着流体的运动在这个时刻形成奇点，原来的光滑解无法继续存在。 

对于真实流体来说，速度不可能真的无限增大。到了这个时候，N-S方程作为连续介质模型也就无法继续描述流体的运动。要进一步追踪系统的运动，就需要回到更微观的尺度，考虑组成流体的单个粒子。 

克雷数学研究所给出的题目要求，就是要在两种可能中证明其中一种。要么对于满足条件的初始状态，三维N-S方程始终存在光滑解。要么找到一个具体的流体运动，证明它会在有限时间内出现奇点。 

早在1934年，法国数学家让·勒雷（Jean Leray）证明了三维N-S方程全局弱解的存在性。但这些弱解是否始终足够光滑，仍无法确定。此后，数学家证明了二维N-S方程的光滑解可以一直存在，但三维情形一直没有得到证明。 

菲尔兹奖得主陶哲轩曾在博客文章中提到。如今学界普遍预期，三维情形下光滑解不会一直存在。应该能够构造出光滑的初始数据和光滑的外力项，使得这些方程在有限时间内产生奇点，甚至在没有外力项的情况下也应当能够实现这一点[3]。 

OpenAI这次的路线，也是证明在有限时间内会出现奇点。 

这次AI模型构造的解可以直观地理解为一个不断向内旋转的涡旋。随着流体运动，涡旋一边旋转，一边沿着轴向被不断拉长，像一根越拉越细的面条。 

与此同时，位于中心的区域越来越小，流体旋转得越来越快。这个过程持续进行，直到有限时间内，局部速度增长到超过任何有限的数值，形成奇点。尽管局部运动越来越剧烈，整个流体的能量却始终保持有限。

图源：OpenAI。局部不可压缩运动的快照。橙色表示角速度较快；青色表示旋转较慢。环流速度同样取决于半径。轨迹展现了向内螺旋盘旋和轴向拉伸的现象。 

OpenAI认为,这一结果满足克雷研究所对N-S问题正式表述中的C、D两种情形，也就是对应三维全空间和周期空间，构造带光滑外力的爆破反例。 

02

1万个智能体，88小时

 OpenAI这次研究的起点，其实相当偶然。 

8月28日，OpenAI开始训练一个新的内部模型。几天后，数学家兼OpenAI研究员塞巴斯蒂安·布贝克（Sébastien Bubeck）等人听到传闻，称OpenAI的老对手Anthropic可能已经解决了两个千禧年大奖难题。 

Anthropic的传闻显然加快了OpenAI的行动。9月1日，团队把刚刚训练出的新模型投入尚未解决的千禧年问题。布贝克后来解释说，他们原本并没有专门准备N-S方程研究项目，只是新模型在数学任务上的能力出现了明显跃升，于是决定借此机会测试它究竟能做到什么程度[4]。 

他们采取的是一种大规模并行的研究方式。对于每个问题，OpenAI把不同版本的命题分别交给不同智能体组，有的尝试证明解始终存在，有的则寻找反例。与此同时，他们还给系统准备了一批难度较低、但结构相近的问题，用来观察模型能否先找到突破口。

N-S方程对应的“练习题”就是三维欧拉方程的正则性问题。欧拉方程可以看作去掉黏性项后的N-S方程，因此与N-S方程有直接的数学联系。 

结果出乎团队预料。大约100个智能体花了50个小时，就解决了无外力欧拉方程的有限时间爆破问题。这个结果改变了整个项目的方向：布贝克和团队由此判断，N-S方程可能是这轮搜索中最有希望的目标，于是把原本分散在其他千禧年问题上的智能体陆续撤回来，把欧拉方程得到的结果交给它们，作为继续攻克N-S方程的起点。 

最终，参与N-S方程搜索的智能体规模达到约1万个。9月5日，也就是第一批智能体启动约88小时后，系统得到了OpenAI后来公布的N-S方程证明。整个项目中，所有数学问题合计产生约490万条智能体消息、3000亿个输出token。其中N-S方程一项就占了270万条消息和约1300亿个输出token。随后，GPT-6 Astra又用了17个小时完成Lean形式化和验证。 

Lean会检查形式化证明中的每一步推导，代码通过检查，意味着这份形式化证明在Lean采用的数学基础上成立。对这类结果，数学家仍然需要阅读证明本身，确认形式化后的命题、定义和假设与最初问题相符。 

完成这项研究后，OpenAI称，无意凭借此成果去申请克雷千禧年大奖。并表示这并不是终点，而只是AI 发展进程中的一个切片。 

03

一场数学家与AI公司的正面交锋 

9月初，社交媒体上开始流传Anthropic可能正在攻克N-S方程的消息。 

纽约大学柯朗数学科学研究所数学教授特里斯坦·巴克马斯特（Tristan Buckmaster）很快意识到，传言可能指向的，就是自己过去一年一直在做的研究。 

巴克马斯特长期研究流体方程中的奇点形成。2019年，他与菲利普·伊塞特（Philip Isett）、弗拉德·维科尔（Vlad Vicol）共同获得克雷研究奖；其中，他与维科尔关于N-S方程弱解非唯一性的工作，改变了数学界对这类解的认识[5]。 

他近期的合作者莱文特·阿尔珀格（Levent Alpöge）是Anthropic的数学家。虽然如此，巴克马斯特强调，这并不是Anthropic的项目，双方雇主都没有正式参与。 

两人的合作始于大约一年前。他们沿着数学家迭戈·科尔多瓦（Diego Córdoba）和路易斯·马丁内斯-佐罗阿（Luis Martínez-Zoroa）此前提出的思路，通过外力让流体方程的解在有限时间内失去光滑性、形成奇点，再将这种机制一步步推进到更接近三维N-S方程的情形。过去一年中的大部分时间，进展都很慢。两人同时使用了多种大模型，包括Anthropic的Claude、OpenAI的Codex以及GPT-5.6 Sol等[6]。 

8月15日左右，两人取得进展。在外力本身保持光滑的条件下，他们证明二维Boussinesq方程和三维不可压缩欧拉方程的解可以在有限时间内失去光滑性、形成奇点，即所谓的“有限时间爆破”（finite-time blowup）。此前，他们已经在不可压缩多孔介质方程上得到类似结果。 

这些方程与N-S方程密切相关，但还不是克雷研究所要解决的三维N-S方程。陶哲轩评论，两人的研究“尚未完全实现目标，但他们已经取得了突破性进展”。8月22日，他们还完成了一份相关证明的Lean形式化验证。 

9月3日，巴克马斯特得知自己的研究进展可能已经传到了OpenAI，于是主动联系OpenAI，向对方说明这项工作是他和阿尔珀格的私人合作，并不涉及Anthropic的项目，希望避免两边的研究发生直接冲突。 

三天后，双方第一次通话。巴克马斯特这才得知，OpenAI的一个内部模型已经做出了在外力作用下的N-S方程有限时间爆破证明。数学表述是，在三维欧氏空间和三维周期空间中存在受外力作用的爆破，且外力函数是光滑的，对应克雷研究所关于N-S方程正式题目中的C、D 两项。 

这让巴克马斯特尤其警觉。OpenAI提到的，正是他过去一年一直在推进的技术路线。在他看来，当时几乎没有其他研究者在坚持这个路线。“这不是把问题本身交给一个模型，几天之内就能找到的研究方向。当我听到‘外力驱动’这个词时，警报立刻响了起来“。 

巴克马斯特随后想到一个更关键的问题。过去一年，他和合作者一直在用Codex推进这项研究，项目中的草稿和数学推导也都留在Codex的对话里。于是，他在通话中直接问OpenAI，这些对话是否曾被模型看到，或者是否被用于模型训练。 

得到的回答是，模型不会查看用户数据。但当他进一步追问这些数据是否曾被用于训练时，没有得到明确答复。

发布N-S方程研究结果同时，OpenAI对这一问题作出了回应。公司表示，在两人公开成果之前，OpenAI的研究人员和智能体“从未通过任何途径见过他们的任何工作”，也没有为了这次研究调取特定的用户数据。

不过，OpenAI同时承认，尽管这种可能性很低，公司无法排除两人使用OpenAI产品产生的去标识化数据曾参与模型改进。 

04

当AI成为数学研究的竞争者 

让巴克马斯特不满的，还有OpenAI随后提出的发表和署名安排。9月7日，他在发布论文的同时公开了一份4页的陈述，详细讲述了前一天与OpenAI的两次通话。 

按照巴克马斯特的说法，OpenAI当时提出了两种安排：一种是他和Levent Alpöge先发布自己的成果，OpenAI第二天再公布N-S方程的结果。另一种是由巴克马斯特单独撰写一篇N-S方程论文，并将证明归于OpenAI的内部模型，而在Anthropic工作的阿尔珀格不能署名。 

巴克马斯特拒绝了这一安排，并表示如果OpenAI坚持这样发布，他就会把双方的谈话公开。 

巴克马斯特写道，对方问他：“你为什么要毁掉自己的职业生涯？”当他追问公开这些事情为什么会毁掉自己的学术生涯时，对方又说：“如果你不想让我客客气气的，那我也没必要客气了。” 

布贝克随后对这段谈话作出了回应。按照他的说法，当时巴克马斯特已经表示，如果OpenAI公布N-S方程的结果，就会立即联系媒体，并提出一系列没有依据的指控。布贝克称，自己当时说的是“不明白为什么要提出一些未经证实的指控，拿自己的职业生涯冒险”，本意是希望劝阻巴克马斯特把事情带向公开冲突。他还说，这句话的措辞非常糟糕，自己当场就收回了。 

双方目前各执一词，这场争议已经从研究归属延伸到OpenAI与Anthropic两家公司的竞争。Anthropic近期正在筹备上市，N-S方程又是接近数学最高难度的公开问题，这次成果的发布和署名因此格外敏感。 

OpenAI最近一年接连把AI数学成果作为模型能力的证明，在今年5月也成功通过模型推翻埃尔多什单位距离猜想。但其中也多次出现过先宣布，后发现问题的情况[7]。 

2025年10月，OpenAI副总裁Kevin Weil曾宣布GPT-5解决了10个此前未解决的Erdős问题，但相关说法随后被删除，实际上，其中一些问题实际上已有已知解答。 

今年8月1日，OpenAI又一次性公布了十项数学与理论计算机科学成果，称这些结果由内部版本的Astra完成，并全部给出了Lean形式化证明[8]。 

但发布后不久，数学家就发现其中一项关于量子博弈的证明存在问题：证明中一个关键条件的方向被写反了，由此得到的后续推导并不能成立。研究者随后给出了修正后的证明，不过这并不意味着OpenAI所声称的最终结果本身是错误的[9]。 

另一项高维球堆积结果也引发了关于既有工作的争议。耶希瓦大学数学家斯蒂芬·米勒（Stephen Miller）指出，OpenAI给出的证明中一个关键论证此前已出现在他与合作者2016年的工作中，而OpenAI最初的表述没有充分说明这一来源。OpenAI随后修改了相关表述[10]。 

截至发稿时，在克雷基金会的官方页面上，N-S问题仍然被标注未解决。但无论OpenAI的证明最终能否得到数学界认可，这个事件已经说明。AI不再只是帮助数学家寻找答案的工具，大公司指挥下的AI，已经开始进入研究、发表和署名这些原本由数学家主导的环节，甚至开始反客为主了。 

巴克马斯特的遭遇就是一个例子。他原本想借论文公布之际，发表一份声明，进一步讨论数学界与AI的关系。最后，这份声明却变成了对自己与OpenAI之间这场突如其来的署名争议的回应。 

原本他想表达，AI时代具体成果本身并不是最重要的，真正重要的是其背后的意义。它对今后如何培养学生、界定学术贡献、进行同行评审，以及判断什么值得耗费人类毕生精力去钻研，都可能产生深远影响，怎么强调都不为过。 

“这是一个属于数学界的‘深蓝对抗卡斯帕罗夫’时刻。学术界亟需进行一场严肃而从容的讨论，以明确我们未来何去何从”。巴克马斯特说。 

可是，AI真正开始改变数学研究的方式时，他甚至连谈这个问题都顾不上了。 

近期，陶哲轩已经在不断警告滥用AI进行数学研究的负面影响。“不加区分地使用强大的解决方案提取工具，确实可以迅速解决眼前的问题，但代价可能是损害支撑下一轮突破的研究生态，也让我们越来越难真正理解已经取得的进展”。 

在9月7日的博客文章中，陶哲轩在介绍巴克马斯特与合作者的新研究时特意提到。构建数学理解是挑战难题的核心价值所在。至于解决一个具体问题，仅仅是构建数学理解与洞察这一主要目标的替代目标（proxy goal）。 

“若是脱离了这种深层理解，即便是像N-S方程正则性这样赫赫有名的问题，其对数学本身的内在重要性，也远没有大众媒体有时宣传的那样重大”。陶哲轩说。 

他进一步警告，如今真正稀缺而珍贵的是找到一个值得研究的问题。现在大家已经看到，哪怕只是传出有人正在研究某个问题，也可能立刻引来大规模的AI攻关，在原本的研究还没有充分展开之前，就把这个问题迅速攻克。 

“这样一来，研究者可能越来越不愿意向同行公开那些有潜力的研究方向，数百年来形成的开放科学传统也可能因此受到损害，最终影响整个领域的长期发展”。陶哲轩说。

参考文献：

[1] OpenAI. (2026, September 8). On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem

https://openai.com/index/navier-stokes-solution/

[2] American Mathematical Society. (2026, September 8). Statement from AMS Leadership on Navier-Stokes Problem. https://www.ams.org/news?news_id=7686

[3] Tao, T. (2026, September 7). Finite time blowup with smooth forcing term for the incompressible porous medium, Boussinesq, and incompressible Euler equations What’s New. https://terrytao.wordpress.com/tag/levent-alpoge/

[4] Wall Street Journal. (2026, September 8). OpenAI Says It Has Solved a Millennium Prize Problem—a Holy Grail of Math.https://www.wsj.com/tech/ai/openai-millennium-prize-navier-stokes-math-2bf240f8

[5] Clay Mathematics Institute. (2019). 2019 Clay Research Awards. https://www.claymath.org/news/2019-clay-research-awards/

[6] Buckmaster, T. (2026, September 7). Statement. New York University Courant Institute of Mathematical Sciences. https://cims.nyu.edu/~tristanb/statement.pdf

[7] OpenAI. (2026, May 20). An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry. https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/

[8] OpenAI. (2026, August 1). Ten advances in mathematics and theoretical computer science. https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/

[9] AI Understanding. (2026, August 18). Audit of an OpenAI AI-Generated Proof Finds a Reversed Condition, and Publishes a Repair. https://aiunderstanding.org/news/audit-of-an-openai-ai-generated-proof-finds-a-reversed-condition-and-publishes-a-r

[10] Howlett, J. (2026, August 6). OpenAI’s latest math breakthroughs commit research misconduct, experts say. Scientific American. https://www.scientificamerican.com/article/openais-latest-math-breakthroughs-commit-research-misconduct-experts-say/