撰文 | 刘    钝（清华大学科学史系教授）

笔者在前文“独孤信印与秦汉酒骰的几何学”中已经提到上面这幅图，它是意大利画师雅可布·德巴巴里（Jacopo de’Barbari, c. 1460-before 1516）的作品。在群星璀璨的文艺复兴盛期，德巴巴里算不上一流画家，但他的这幅《帕乔利肖像》却非常有名。前文只涉及画面左上角的那个水晶多面体，本文则要谈谈画面右下角那个多面体，更多的关注则是画面中央的人物——文艺复兴时代意大利的数学家帕乔利。

 

方济各会修士

 

身着方济各会修士袍的人就是卢卡·帕乔利（Luca Pacioli, 1445-1517），他身边的年轻人是学生与庇护人、热爱科学和艺术的第三代乌尔比诺公爵­——蒙泰费尔特罗家族的盖多巴尔多（Guidobaldo da Montefeltro, 1472-1508）。据说盖多巴尔多曾向帕乔利学习数学，画面上的道具也多与数学有关。

 

帕乔利生于托斯卡纳的桑塞珀尔克罗（Sansepolcro），在佛罗伦萨市东南约80公里、佩鲁贾北面约50公里，文艺复兴时代的另一位艺术大师兼数学家弗兰切斯卡（Piero della Francesca, c. 1415-1492）也诞生于此。关于帕乔利的教育背景与知识来源人们所知甚微，推测他曾向弗兰切斯卡学习几何与透视原理。还有人认为弗朗切斯卡为乌尔比诺公爵所作的祭坛画中，圣母右边圣方济各（Francis of Assisi, 1182-1226）的形象，就是以年轻的帕乔利为模特的。

 

弗朗切斯卡《蒙泰费尔特罗祭坛画》（c.1472-1474）

现存米兰布雷拉画廊（Pinacoteca di Brera）

 

上图即《蒙泰费尔特罗祭坛画》，又名《圣母子与诸圣人》，画中的拱顶及其他背景体现了精准的透视法，是弗朗切斯卡最受人称赞的作品之一。画面中身着甲胄下跪的骑士就是第二代乌尔比诺公爵、也就是盖多巴尔多的父亲斐迪利哥（Federicoda Montefeltro, 1422-1482），他们父子都以保护和赞助艺术闻名。位居画面中央的是圣母玛利亚和圣婴耶稣，紧挨着圣母的四个年轻女性是天使，在她们两边站着一些有名的圣徒，其中右数第三人穿着灰色僧袍，一只手扯开胸前右肋部的破洞露出“圣痕”（stigmas），这是圣方济各的典型特征。这一形象的外观年龄与作画时的帕乔利相符，与德巴巴里绘制的肖像也有几分相似，只不过后者是50岁时的形象，前者还不到30岁而已。

 

 

圣方济各是一个真实人物，他出身富家却甘愿选择与贫穷为伍，声言只有在贫穷和饥饿中才能找到快乐；他又是一个现代意义的生态主义者，能与大地、天空和海洋中的万物生灵沟通。他于1209年创立的方济各会是罗马教廷认可的最有影响力的修会之一。传说1224年四旬斋节期间圣方济各突然获得恩宠，在极度喜悦与痛苦中看到耶稣受难的形象，苏醒过来后发现自己双手、双脚和右肋各有一个流血的伤口，这就是耶稣送来的圣痕。下图是意大利巴洛克画家卡拉瓦乔（Caravaggio, c. 1572-1610）的作品，描绘圣方济各悲喜交加而晕眩过去的那一刻。

 

1464年，不到20岁的帕乔利来到威尼斯，受雇于一位富有的商人艾尔托尼奥（Ailtoniode Rompiasi），担任其三个儿子的家庭教师，很可能还兼任账房先生。威尼斯是当时商业最繁华的城市，帕乔利关于商业簿记的知识大概就与这段经历有关。1470年帕乔利前往罗马，在著名建筑师同时也是艺术家和数学家的阿尔伯蒂（Leon Battista Alberti, 1404-1472）工作室学习。他于1473年加入了方济各会，此时被年长的老乡弗朗切斯卡当作模特是极有可能的。在研修神学的同时，帕乔利开始在意大利各地旅行，以修士身份在佛罗伦萨及多处布道，亦曾担任过地区教长，同时他也在不同的地方讲授数学与军事科学，包括佩鲁贾、佛罗伦萨、罗马、威尼斯和那不勒斯。

 

下图为帕乔利同时代的威尼斯画家贝里尼（Gentile Bellini, c. 1429-1507）所作，描绘圣马可广场前的游行盛况，时间是1496年，与帕乔利在威尼斯谋生的时间相当接近。

 

 

1497年一个新的主顾找上门来，那就是权倾一时的米兰大公、斯福尔扎家族的卢多维科（Ludovico Sforza, 1452-1508）。这个雇佣军出身的家族权势有多大，用一件事就可以说明——佛罗伦萨最显赫的美第奇家族的大当家洛伦佐（Lorenzode’ Medici, 1449-1492）为了向其示好，1482年特派精通音乐的达芬奇，带着作为礼物的竖琴前往米兰觐见卢多维科。随后达芬奇就被斯福尔扎家族罗致门下。帕乔利到来的时候，这位艺术大师正在为当时属于这个家族的圣玛丽慈悲修道院绘制《最后的晚餐》。

 

帕乔利的第一位赞助人乌尔比诺公爵  

盖多巴尔多，拉斐尔画（c. 1502）

现藏佛罗伦萨乌菲兹美术馆

 

帕乔利的第二位赞助人米兰大公卢多维科

G.A.de Predis绘，现藏Trivulzio 城堡

 

正是在卢多维科的米兰宫廷里，帕乔利结识了达芬奇并向他讲解数学；作为回报，后者为他的《神圣比例》制作了60多幅版画插图。两位杰出学者在米兰的因缘际会为科学与艺术联姻作了最好的注解，直到1499年法王路易十二率军侵入米兰驱逐卢多维科，他们俩人又结伴逃往佛罗伦萨。

 

1500年左右，帕乔利在比萨大学讲授欧几里得几何学，翌年兼任博洛尼亚大学教授。1514年，刚升教皇圣座的利奥十世（Pope Leo X，1475-1521）任命他为罗马大学（La Sapienza）数学教授，这一职位相当于教廷数学家，是当时天主教世界最高的数学荣誉。他的最后几年是在家乡度过的，1517年6月18日在桑塞珀尔克罗去世。

 

教廷数学家

 

让我们回到那幅双人肖像：画中的帕乔利右手拿着一根细棒指向画板上的几何图形，画板的前缘可以辨认出“欧几里得”（EVCLIDES）的字样；他的左手平放在一本摊开的书上，食指指向书中的某一段落，一般认为这本书就是他的杰作《算术、几何、比与比例集成》（Summa de arithmetica，geometria，proportioni et proportionalita，以下简称《集成》），此书乃是题献给盖多巴尔多的。

 

 《帕乔利肖像》细部：带有“欧几里得”字样的画板、矩尺、文具等

 

铺着绿色台布的桌面上摆放着一些文具，从左到右依次为：海绵，矩尺，笔和墨水瓶，筒状文具盒，粉笔，圆规，以及写着据悉是画家名字、作画地点与时间（IACO. BAR. VIGENNIS. P. 1495）的小纸片；最右端则是一个方盒状的东西，其中可以辨认出LVC三个字母，有人说代表帕乔利名字的缩写“卢卡”。

 

值得注意的是，画面左上方悬着一个类球状的水晶体，其表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，西文学名rhombicuboctahedron，可译作小斜方截半立方体，更准确的术语应该是48等边半正多面体；与之相对，画面右下角那个方盒状物体的上面，有一个正12面体模型，其表面是12个全等的正五边形。正12面体在西方文化中往往指代地球之外的星空，大概是由数字12联想到黄道十二宫，也就是希腊人从古代巴比伦那里学来的划分星空的坐标系统。在帕乔利面前摆放一个正12面体模型，似乎暗示他与上帝有关。

 

 

罗马作家普罗克鲁斯（Proclus，412-485）说公元前六世纪的毕达哥拉斯学派已经研究过正多面体，不过在欧几里得《几何原本》的一个早期版本中，注释者提到毕达哥拉斯学派仅仅知道正方体、正4面体和正12面体。著名的荷兰代数学家范德瓦尔登（Vander Waerden，1903-1996）写过一本关于西方科学萌芽的书《科学觉醒》，内中提到考古学家曾在意大利帕多瓦附近发掘出一个滑石制成的正12面体模型，其年代早于公元前500年，时间和地点都与毕达哥拉斯学派活动的轨迹相近。

 

柏拉图（Plato，c.427-347 BC）在《蒂迈欧篇》中，将古代爱奥尼亚学派的元素学说与自己珍视的几何学结合起来。书中提到构成世界的四大元素对应四种正多面体：火对应正4面体，土对应正6面体，气对应正8面体，水对应正20面体；又将不同的物理属性赋予这些元素或立体，例如火与正4面体对应小、轻、热、尖锐，水与正20面体对应大、圆、柔，土与正6面体对应重、稳、冷、坚硬，气与正8面体居于火、水之间，以此来解说地上万物的生成与变化。

 

书中还提到第五个立体，并称“造物主用其代表作为一个整体的宇宙的形状（to represent the shape of the Universe as a whole）”，但是没有为它命名，也没有提到它的形状；有的注释者则将同一句话译成“神用它来界定宇宙（that which God used in the delineation of the universe）” 。后来亚里士多德（Aristotle，384-322 BC）借用前辈描述纯净的火或者气的词aether，创造了一个与正12面体对应的神性元素——以太，也就是组成星空及星体的元素。至此五种正多面体都有了对应的元素，而“以太”在现代物理观念的演进过程中扮演了甚为关键的作用，那是后话。

 

据说柏拉图学派的泰阿泰德（Theaetetus，c. 417 BC-369BC）最早给出五种正多面体的数学描述并证明只有五种凸的正多面体，后者正是欧几里得《几何原本》最后一个命题（卷13命题18）的推论。杨振宁先生说：“希腊人发现了五种规则立体，它们是高度对称的。这使某些权威认为，欧几里得汇编《几何原本》实际上就是为了证明这五种规则立体是仅有的规则立体。”以只有五种正多面体的结论为《几何原本》谢幕这一事实，或许使某些“辉格立场”的当代数学家认为：欧几里得汇编《几何原本》的终极目标，就是为柏拉图的宇宙观提供一个可靠的数学基础。这一说法很动人，但是未必符合历史的真实情况。

 

 

上图是西班牙超现实主义画家达利（Salvador Dalí，1904-1989）的作品《最后晚餐的圣礼》，神情庄严的耶稣正向弟子们宣示天机，石块砌成的台面上有代表圣餐的面包和红酒，11个忠诚的门徒低垂下头倾听着，出卖耶稣的犹大不在其中。值得注意的是，耶稣的上方浮现出一个巨人的上身，而整个画面处于一个正12面体的厅堂内，象征上帝正要召唤自己心爱的儿子升往天堂。

 

由两种或两种以上正多边形为表面构成的规则凸多面体称为半正多面体，根据三世纪希腊学者帕普士（Pappus，c. 290-350）的记载，阿基米德曾研究过全部13种半正多面体，所以它们也被称作“阿基米德体”（Archimedean solids）。中国清代数学家梅文鼎（1633-1721）在《几何补编》（1692）中介绍了两种半正多面体，其中的“方灯”是24等边体，通过正六（或八）面体各棱的中点作切割而成；“圆灯”是60等边体，通过正12（或20）面体各棱的中点作切割而成。他的友人孔林宗在注记中说借助正六（或八）面体可以构造出一个48等边半正多面体，这就是德巴巴里《帕乔利肖像》中那个悬挂着的水晶体模型。达芬奇曾为帕乔利的《神圣比例》第一卷绘制插图，其中也有这种半正多面体的立体框架图。

 

 

 

《神圣比例》（Divina proportione）写成于1496-1498年之间，1509年在威尼斯正式出版。此书分为三部分：第一部分主要介绍黄金分割的性质及其在艺术中的应用；第二部分讨论罗马建筑师维特鲁维的《建筑十书》，特别是人体比例与人工建筑的关系；第三部分是弗朗切斯卡《论五种正多面体》（De quinque corporibus regularibus）的意大利文译本，为此帕乔利曾遭到剽窃的指责。该书还有两个附录：附录二是达芬奇绘制的版画；附录一是帕乔利自己为23个拉丁大写字母设计的“建筑体”（Architectural letter）图样。他的设计很受后代书商和艺术装潢家们的青睐，纽约大都会艺术博物馆的馆徽就是帕乔利设计的大写M。 

 

 

上面提到，帕乔利最有名的著作《集成》是题献给其庇护人盖多巴尔多的。这部书初刊于1494年，是《几何原本》首部印刷本（1482）之后西方第二部印刷出版的数学书籍。它与斐波那契（Fibonacci,1175-1250）的《计算之书》（Liber Abaci，1202）、卡尔达诺（Girolamo Cardano，1501-1576）的《大术》（Ars Magna，1545）并称文艺复兴时代的三大数学名著。

 

《集成》用意大利文写成，全书600多页，分为10章，是一部综合性的数学百科全书，内容包括实用算术、代数基础、更加规范的印度-阿拉伯记数法、以印刷形式给出的手指记数图示、以词语缩写或首母形式表示的数学符号、欧几里得几何学概述、高次方程求解，以及商业算术，几乎包括了文艺复兴时代欧洲算术、代数和三角学中的所有知识。与斐波那契的《计算之书》一样，帕乔利的《集成》代表了当时流行的一种被称为“算盘师”（abacist）的数学传统。两书都把一些新奇的算法归之于商业繁荣的结果，但未明确交代其来源，如著名的“双设法”（double-false method，也就是中国的“盈不足术”）。

 

《集成》第二版（1523）书名页

 

《神圣比例》初版（1509）书名页

 

以今日的观点来看，《集成》更像一个大拼盘，有些问题结论不确但不失创意和启发性。下面这个例子最有意思，它是日后概率论中期望值理论的雏形，也被称为“赌注分配”问题（Problem of division of thestakes）或“梅内骑士”问题（Problem of Chevalier de Méré），因一位自称“梅内骑士”的法国作家龚博（Antoine Gombaud,1607-1684）得名，他喜欢提出各种各样的智力问题，向当时流行的文化沙龙挑战。

 

《集成》中的表述为：A、B二人奕棋赌博，规定先赢六盘者为胜，赌注若干由胜者通吃；但是A已获五胜时棋局被意外打乱，在无法继续博弈的情况下该如何分配赌资？帕乔利认为应该按照A、B各自获胜盘数之比分配，例如B胜三盘，则A、B二人分得赌资之比为5:3。在他那个时代，数学意义上“机会”的观念还没有诞生。虽然这一结论是错误的，却引起概率论前驱们的关注，例如与卡尔达诺同时的塔塔利亚（Niccolò Fontana Tartaglia, 1499-1557）就指出帕乔利的方案不合理，但他也没能提出正确的方法来。最早指出正确思路的是17世纪法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal, 1623-1672），他认为不应以赢得盘数、而应以为了赢得整个赌局所需的胜盘数为依据来考虑问题。1654年，帕斯卡在梅森神父（Marin Mersenne, 1588 -1648）的沙龙那里获知这一难题，随后他与费马（Pierre de Fermat, 1607-1665）通信，两人讨论了这一问题并共同对之加以推广。

 

 

 

以六盘决胜为例，帕斯卡提出，假如两人已各胜五盘，那么平分赌资即可；假如棋局破坏前A胜五盘B胜四盘，若加赛一盘且排除和局，此时会有两种可能：A胜则获全部赌注，因为总比分是6:4；B胜则平分赌注，因为总比分是5:5。这样A应得的赌资比例为1/2加上剩余一半的1/2，即1/2+1/2×1/2=3/4；B应得赌资比例为1/4。假如棋局破坏前B已胜三盘，即令再胜一盘也只能达到前述结果，即A得3/4而B得1/4；但是B要想翻盘就得再下一盘，即便胜了也只打成平局，因此A仍可分得B的1/4份额的一半，所以A应得的赌资比例为3/4+1/2×1/4=7/8，B得1/8。类似地，如果棋局破坏前B仅胜二盘、一盘或全负，则A应得的赌资比例分别是7/8+1/2×1/8=15/16、15/16+1/2×1/16=31/32、以及31/32+1/2×1/32=63/64。一般地，无论事先约定先赢盘数是多少，如果棋局破坏前A还差r盘赢得整个比赛，B还差s盘赢得整个比赛，则A赢得的赌资比例为 （2的n次方–1）:2的n次方，其中n=r+s-1。可以看出，这一结果与所谓的帕斯卡三角形（Pascal triangle）有关，这里就不多讲了。

 

后来有人建议把1654年7月29日，也就是帕斯卡写信给费马探讨这一问题的那天，作为概率论的诞生之日，而这一问题的最早表述是由帕乔利在《集成》中提出来的。

 

现代会计师的鼻祖

 

在宗教改革与新教伦理兴起之前，天主教文化至少在表面上是鄙视世俗对金钱的追求的，方济各等托钵修会更以“弃财”“绝色”标榜。下面这幅图描画了《圣经》中马太蒙召的故事：在一间昏暗的房间里，几名税吏正围坐在桌前分钱，突然从门外闯进两个人，其中一人的身体大部分隐身在黑暗里，只露出冷峻的侧脸和前伸的右臂，头顶上依稀可见一个金色的光环，这就是基督耶稣，站在他身边的是大门徒圣彼得。光从头顶泻下，照亮了桌前的税吏们，耶稣目光炯炯，手指其中的一位说道：“跟我来，撇下你所有的。”被召唤的正是马太，惊讶无比的他抬起头望着陌生人，用手指着胸前自语道：“是我吗？一个卑贱的税吏。”

 

 

作为方济各会修士的帕乔利，却被世人奉为现代会计师的鼻祖，《集成》则被认为是现代会计制度的开山之作，原因就是该书系统总结了当时的商业算术，正好适应了市民社会与商业繁荣的需要。有关内容都在第九章，共计150页，具体包括意大利各地使用的币值、重量单位和度量表、易物贸易、汇票交易，以及最重要的——复式簿记（double-entry bookkeeping）方法。

 

帕乔利没有声称是自己发明了这种记账法；相反，他明确交代这是由威尼斯商人发展的一种记账制度。早在11-12世纪，意大利的一些城市如热那亚、佛罗伦萨和威尼斯就成为东方贸易的窗口，现今发现的最早复式簿记账本就出自热那亚，时间是1340年。后来这种方法流传到当时的国际商贸中心威尼斯，被称为“威尼斯记账法”。帕乔利的贡献是对这一已经流行的簿记知识加以系统整理，他在书中明确区分了日账（journals）与分类账（ledgers），提出著名的会计恒等式E=A–L（净值=资产–负债），还归纳出成功经营的三大法宝：充足的现金或信用，优秀的会计师，以及出入平衡的记账制度。他的名言包括“在支出（debits）与收入（credits）账面不等时商人绝不能上床睡觉”，“交换就是为了获得更多利润而用一种物品兑取另一种物品”。他认为算术是确保公平和利润的强大工具，因为不同类型的商品（goods）必须转换为具有同一价值标准的量化指标，也就是货币（money），所以一切商业活动都不过是以货币为符号的算术运算。

 

 

这些观念和做法在今日看来平淡无奇，却成了15-17世纪商业活动与资本积累的金科玉律，它为资本主义时代的到来准备了一个完美的经济信息系统，有人甚至夸张地说“倘若没有复式簿记，就没有资本主义的出现”。德国诗人歌德赞美复式簿记是“人类智慧的绝妙创造之一”，英国数学家凯莱称它“如同欧几里得的比例论一样精确可靠”。学者们还有一个更具挑战性的观点，那就是将这种把商品还原为可量化货币的实用技术，以及在商业活动中追求精确收支平衡的原则，与大自然的数学化这一伟大历史进程加以类比，从而在复式簿记与近代科学的兴起之间建立一定的联系。因此有人说：“创造复式簿记的精神，也就是创造伽利略和牛顿体系的精神。”航海、贸易、商业、资本积累，以及数学的应用，这些因素确实催发了近代科学与近代社会的诞生。

 

回到开篇那幅帕乔利的画像，笔者最早是在一本名为《数学简史》的小书中见到的，时间是1970年初，当时还在内蒙插队的我很纳闷作者为什么要在一本篇幅不大的书中选用这幅画，而且是唯一的插图，难道帕乔利的数学成就比欧几里得、牛顿、欧拉与高斯们还要高吗？后来有幸进入科学史领域，了解了该书作者斯特洛伊克（Dirk Jan Struik，1894-2000）的生平和立场，原来他是以马克思主义的历史观来写作的，这就可以领悟他钟爱《帕乔利肖像》的原因了。斯特洛伊克重视社会环境特别是经济基础对近代科学诞生的意义，而帕乔利详尽描述的复式簿记和商业算术，恰好为这一观点提供了注脚。

 

余 话

 

帕乔利还有一些其他作品。他整理翻译过欧几里得的《几何原本》，其底本是13世纪意大利数学家卡姆潘努斯（Campanus of Novara）依据阿拉伯文译成拉丁文的早期译本。博洛尼亚大学图书馆还保存着他的一份长达300多页的数学遗稿，内容涉及数学游戏和相关的诗句和谚语等。梵蒂冈图书馆则收藏了他另一部厚达600多页的手稿（Ms.Vatican Library，Lat.3129），是他在佩鲁贾大学教授数学的讲义。2006年，他的一部有关象棋的遗稿（De ludo scacchorum）被人发现了，两年后在其家乡桑塞珀尔克罗出版。

 

1878年，帕乔利家乡的市政当局在他出生的房屋附近立了一块大理石铭牌，上面镌刻着如下的文字：

 

卢卡·帕乔利，达芬奇与阿尔伯蒂是其朋友和顾问，他将代数引向科学又应用于几何，他讲授复式簿记，他的工作成为后来数学研究者的基础与规范。为了这位伟大的市民，桑塞珀尔克罗人民在令人感到难堪的370年沉默后，立此石碑以志纪念。

 

 现在这块铭牌已被移至桑塞珀尔克罗市立博物馆对面的墙上。1994年，为了纪念《集成》出版500周年，人们又在市中心建造了一座大理石雕像：身着方济各会修士袍的帕乔利手捧着他的《集成》，基座上则有“卢卡·帕乔利——《集成》——1494～1994”等字。

 

帕乔利家乡博物馆对面墙上的纪念铭牌

 

帕乔利家乡《集成》出版500周年纪念碑

 

2000年初，借出席美国数学会/美国数学家联合会（AMS/MAA）千禧年大会召开的机会，笔者绕道波士顿专门拜访斯特罗伊克——这位出生于19世纪末的学界奇人，是他的《数学简史》令我见识《帕乔利肖像》这幅内涵丰富的图像，也成了我日后从事科学史研究的一个诱因。幸运的是，我还能够把自己30年前的心情向这位期颐老人讲清楚——一个生活在文化与自然荒漠中的中国青年农民，在那本小书展现的人类智慧演进的绚丽图景面前的痴迷。那次短促的访问九个月后，老人在家中溘然辞世，享年106岁。美国一些大报和有关网站对此都有所反应。关于他的长寿，《波士顿环球报》当年10月24日的一篇悼文中说，他“将其长寿的原因部分地归于数学和历史研究所带来的欢愉。” 谨以此文纪念引导我初窥科学与艺术堂奥的斯特洛伊克。

 

 

 

 

参考文献

Gleeson-White, Jane.2011. Double Entry: How the Merchants of Venice Created Modern Finance, London: W. W.Norton & Company.

Hadden, Richard. 1994. On the Shoulders of Merchants: Exchange and the Mathematical Conception of Nature in Early Modern Europe. Albany: State University of New York Press.

Heath, Thomas. 1921. A History of Greek Mathematics. 2 vols. Oxford: Oxford University Press.

Lauwers, Luc& Willekens, Marleen. 1994. Five Hundred Years of Bookkeeping: A Portrait of Luca Pacioli.Tijdschrift voor Economie en Management. Katholieke Universiteit Leuven. 39（3）:289–304.

Plato. 1925. Timaeus. Plato in Twelve Volumes. Vol. 9. trans. by W.R.M. Lamb. Cambridge, MA: Harvard University Press; London: William Heinemann Ltd.

Van der Waerden, B.L. 1954. trans. by Dresden, Arnold. ScienceAwakening. Groningen: P. Noordhoff Ltd.

柏拉图著. 谢文郁译注. 2003. 蒂迈欧篇.上海：上海人民出版社.

葛家澍.2007.复式簿记的开山之作：巴其阿勒会计论.财会通讯.第9期.

刘钝. 2002.数学、历史与马克思主义. 科学技术与辩证法. 19卷2期. 72-76.

刘钝. 2013.帕乔利：数学、上帝和资本. 科学文化评论. 10卷1期. 126-128.

刘钝.2018.独孤信印与秦汉酒骰的几何学.数学文化.9卷1期.62-69.

梅文鼎. 1759. 几何补编. 梅氏丛书辑要.卷二十五-二十八. 乾隆二十四年承学堂刊本.

斯特洛伊克著. 关娴译.1956. 数学简史. 北京：科学出版社.71.

王青建.帕乔利. 1992. 世界著名科学家传记.数学IV.北京：科学出版社. 126-131.

杨振宁.1991.对称和物理学.二十一世纪.总6期.

 

原题“帕乔利：修士、数学家、现代会计学鼻祖”，载《数学文化》2018年第9卷第1期51-61页，本文略有增修。