撰文丨蔡天新

1.杭州横河桥许家‍‍‍‍‍‍‍‍‍

1910年9月1日，数学家、中国概率统计事业的奠基人许宝騄先生出生在北京，他祖籍杭州，父亲许引之曾在清末北洋政府时期在京城任职，母亲程时嘉是江西新建人。杭州许氏本姓沈，其祖先是富阳沈显荣，明嘉靖1536年，他在京经商时病故，遗有两子交由杭州的表姑父许魁带回抚养，改姓许。到清朝时杭州许家已是望族，尤以横河桥支系“积厚轩”最为兴旺。

许家老宅南依横河，北接华藏寺巷，西起今建国中路，邻近西横河桥，而浙江大学前身求是书院（1897年创办）位于今大学路，在东西横河桥之间，两地同属仁和县。积厚轩宽60余米，长80余米，共七进五门，有近百间房屋，“八房同居而各饮”。遗憾的是，1987年杭州旧城改造时，积厚轩被夷为平地，原址之上建起了三幢七层居民大楼，隶属华藏寺巷小区，编号1-3号楼。1991年，市政府在积厚轩许家儿孙读书处营建了“钱塘许积厚轩老屋原址纪念碑”（许氏宗祠在横河南岸），碑前还留有一对石狮子。

从第十世开始，许家按照“学乃身之宝，儒以道得民”一联十字取名排辈。许宝騄的十世祖许学范是乾隆37年（1772）进士，育有八子，其中三子为进士，四子为举人，前清皇帝赐匾的“七子登科”悬于许氏宗祠门楣。老五许乃晋在1820年高中榜眼，为嘉庆、道光、咸丰三朝内阁学士，历任贵州、江西学政，工部、兵部、刑部和吏部尚书，在任时获道光皇帝御笔“迎祥”和咸丰皇帝赏赐的“宜尔子孙”匾额。

清代学者、“清四大书法家”之一的钱塘人梁同书曾撰联赠送许学范，“世间数百年旧家，无非积德；天下第一件好事，还是读书。”此联句常为后人引用，例如，同治、光绪二代帝师翁同龢曾为南浔张静江故居撰写。许宝騄的曾祖父许乃恩为道光癸卯（1843）举人，曾任台州府学训导、山东掖县知县，而其长兄许乃来为乾隆癸卯（1783）举人，刚好相差一个甲子年。因此，清代状元出身的军机大臣、苏州人潘世恩发出感叹，“伯兄、季弟先后同年，尤科目所罕见。”

许宝騄的祖父许祐身是同治举人（1873），曾任苏州知府和扬州知府，他的姐姐嫁与礼部尚书廖寿恒，妹妹许禧身是个才女，嫁与清末直隶总督陈夔龙，有《亭秋馆附录》传世。1906年她早逝后，葬于杭州西湖西侧的三台山，与浙江德清大学者俞樾为早逝的夫人姚文玉安葬的墓地直线距离不过三十多米。1907年俞老先生在苏州逝世，1948年陈夔龙在上海逝世以后，也都移葬在三台山，与他们的夫人为伴。

笔者不知许乃恩与俞樾是如何相识而联姻的，反正在1864年，俞樾寓居天津期间，他将三个儿女的婚嫁大事完成。其中，小女儿俞绣荪嫁与许祐身。之后，许家女儿许之仙嫁与俞家独孙、光绪探花俞陛云，是为许宝騄的姑姑和姑父。许家孙女许宝驯嫁与俞家曾孙、红学家兼诗人俞平伯，是为许宝騄的姐姐和姐夫。许宝騄的堂兄许宝蘅是清末举人，娶的是俞平伯的姐姐俞玟，他们的儿子许儒鸿（高阳）是台湾著名作家，依据其作品《胡雪岩》改编的电视剧《红顶商人》在大陆风靡一时，那块许氏积厚轩老屋纪念碑背后的碑文便是由高阳撰写。

值得一提的是，许祐身的堂兄许庚身是咸丰举人，官至兵部尚书、军机大臣，他的女儿许子宜嫁与海盐人、成就了商务印书馆的出版家张元济。许祐身的一个妹妹嫁与嘉善人钱能训，他是吴越王钱镠的第36代孙、光绪进士，做过民国政府总理兼内政部长。钱能训的妹妹钱馥兰嫁与淮安周济渠，他是周恩来的堂叔，正是利用这层姻亲关系，12岁的周恩来随父去了沈阳，入读新式学校三年，那会儿钱能训任奉天右参赞。1946年，周恩来在南京接受《纽约时报》记者李勃曼采访时，特别强调那三年对他人生的重要性。

话说俞平伯和许宝驯成婚是在1917年，翌年5月，俞平伯的新诗处女作《春水》和鲁迅的小说《狂人日记》一起刊登在《新青年》上，他成为中国白话诗写作的先驱。一年以后，19岁的俞平伯从北京大学毕业。之后，他开始研究《红楼梦》，23岁出版奠定他红学地位的专著《红楼梦辨》。书中首次考证出《红楼梦》前80回是曹雪芹所作，后40回是高鹗续作，他因此与胡适一起成为新红学的奠基人。翌年年初，他又写下了散文名作《桨声灯影里的秦淮河》。

许氏子孙既有出使英、日、韩的，也有为官川、甘、直隶的。许宝騄父亲许引之曾任京张铁路转运局总办、清廷驻韩国仁川领事、直隶烟酒公卖局局长、浙江中国银行行长、两浙盐运使等职。许宝騄是家中老小，上有二兄四姐，大哥许宝驹毕业于北京大学国文系，二哥许宝骙毕业于燕京大学哲学系。小时候他家跟着父亲辗转于北京、天津和杭州，八岁那年他回到了杭州，因为体质较差，父亲聘请数位家庭教师，分别讲授《四书》和《五经》、古典文学和历史。

许宝騄10岁开始学做古文，他因此有着很深的古典文学修养，用词和写作都很凝练。11岁那年，他甚至偶发奇想，用文言文创作短篇小说《花生姻缘》，父亲读后，为之开颜，其稿至今尤存。同年学写小楷，临摹王献之的楷书《玉版十三行》，颇为神似。后来，许宝騄曾为姐夫兼表兄俞平伯手写其《古槐书屋词》，他善于就古书诗曲小说制作灯谜，颇具巧思。私塾开始教英文后不到两年，他便能阅读英文古典小说原著。与此同时，他也开始学习算术。

1924年9月25日下午，西湖南岸的千年古塔雷峰塔轰然倒塌，14岁的许宝騄和15岁的二哥许宝骙正在下棋。那时杭州离撤县设市还有三年，城内既没有高大的建筑物，也很少听到汽车喇叭声，只有一路公交汽车从湖滨开往灵隐寺。哥俩听见远方传来了一声巨响，随后看见雷峰塔方向升腾起漫天粉尘，便冲出家门往雷峰塔方向跑去，只见满街都是奔跑的人群。

那时杭州百姓认为雷峰塔的砖头可辟邪、能生男孩、有利于蚕宝宝吐丝，因此是去“抢”的。那会儿许父引之和女婿俞平伯正在湖对岸的孤山俞楼，后者偕同夫人在江浙一带教书。两人旋即雇船前往，他们并非为了辟邪，而是为抢救藏在砖孔里的经卷，还有石刻，塔身一倒，塔底的那些文物就露了出来。可是，等到他们的小舟抵达，市民们早已把塔砖哄抢一空，这让他们痛心疾首。当时寓居杭州的清代遗老、末代皇后婉容的老师陈曾寿倒是觅得数卷。

随后几天，许引之携带着现金，在俞平伯陪同下四处求购遗散的文物。不料因为天阴风冷，他受了风寒，一个多月后竟不治身亡，年仅49岁。临终之时，他嘱托女婿和儿女把他葬在高一点的地方，以便能望见西湖并免受水浸。于是家人购买了楊梅岭的一块地，即满觉陇通往九溪的路上。沿此路向下，还有“清末四公子”之一的陈三立之墓和国民党“文胆”陈布雷之墓，前者是国学大师、历史学家陈寅恪的父亲。

悲伤至极的俞平伯写下一首长诗《西关砖塔塔歌》以示哀悼，“无以平生酬雅爱，为君歌此西关塔；歌成凄咽何人和，灵不来兮风磨陀。”因为雷峰塔在西关外，当时杭州人管它叫西关砖塔。许引之墓在“文革”前便遭到严重破坏，“文革”后得以重修，墓道牌坊的正面横批是元代书法家赵孟頫的“优游石泉”，背面横批“和煦温厚”出自俞平伯的祭文。1984年秋天，年逾84岁的俞平伯依然记得60年前那个惊心动魄的时刻和悲伤，写下《雷峰塔圮甲子一周》一诗。

隔湖丹翠望迢迢，六十年前梦影娇；

临去秋波那一转，西关砖塔已全消。

只是当年的俞平伯绝不会想到，雷峰塔这一倒塌还催生了一位大数学家。‍‍‍

2.江西的程家大院

许引之的英年早逝，改变了儿子许宝騄和女婿俞平伯等人的命运。许家先是迁至天津，翌年又移居北京。而俞平伯于1924年底即携家眷赴京，并从此离开江南，开启了他长居北京的人生旅程，先后任教燕京大学和清华大学，最后落户中国社科院文学研究所。同时，夫唱妇随，广交梨园朋友。多年以后，俞平伯因为山东大学中文系毕业的两个小人物的一篇批评文章和伟大领袖的一条批文广为人知。

写到这里，必须介绍一下许宝騄的母亲程时嘉，父亲去世时许宝騄年仅14岁，之前也忙于仕途和公务，教育孩子的责任和义务多由母亲承担。程家是江西新建大户人家，集聚地在南昌以北45公里的大塘坪乡汪山岗村，离2011年发现的汉代海昏侯国遗址仅五公里。2023年夏天，笔者路过南昌时曾专程前往探访。1400多个房间的“程家大院”又称汪山土库，在江西知名度甚高，被誉为“江西的乔家大院”或“小故宫”。曾国藩、翁同酥、林则徐等名人当年都曾来此做客，后者还给同科进士的程家大房赠送了一副对联：湖山意气归词苑，兄弟文章人选楼。

汪山土库共有两家十房，并排而立，各自有独立的大门。大房、二房、六房、十（九）房在右，三房、四房、五房、七房、八房在左。各房大门之间又有一条或两条通道，有的专供下人通行。在赣语中，土库的意思是大型的青砖瓦房。大房程矞采（1783-1857）是从一品，官居云贵总督、湖广总督，他的弟弟二房程焕采（1787-1859）是从二品，官居江苏巡抚，堂弟程楙采（1789-1843）是正二品，官居安徽巡抚、浙江巡抚。这正是民间所谓的“一门三督抚”。

大房程矞采的后裔中，最著名的要数曾孙程学愉（时然），又名程天放（1899-1967）。程天放出生于杭州，小时候在老家新建接受过私塾教育，在复旦大学读书时成为“五四运动”学生领袖。后留学美国芝加哥大学、伊利诺伊大学，1926年获多伦多大学政治学博士学位，旋即回国，历任江西省教育厅长、中央大学教授、安徽省教育厅长、江苏省政府秘书长、浙江大学校长、中央政治学校教务长、立法委员、国民党宣传部长等职。

1935年，程天放出任首任中国驻德国大使，1938年中德关系破裂后主动辞去大使之职回国，先后任四川大学校长、中央政治学校副校长等职。之后，他担任台湾首任“教育部长”，卸职后长期在联合国总部工作，并曾在华盛顿大学远东问题研究所任职，1967年在纽约病逝，著有《中俄关系史》《使德回忆录》等。任职浙大校长期间，聘请好友、中国第一代钢琴家、音乐教育家唐丽玲（1907-2007）来浙大任教。

二房程焕采的曾孙程时煃（1890-1940）早年留学日本东京高等师范学校、美国哥伦比亚大学，后经蔡元培介绍，出任福建省教育厅长。浙大西迁江西泰和时，他正担任江西省教育厅长。在一出名叫《浙大西迁泰和记》的现代戏里，厅长程时煃出场，他对浙大校长竺可桢赞赏有加：“竺校长所为，正体现了他办大学的理念，那就是——大学必须服务社会……”二房后裔中最为人所知的当数程时煃的侄儿程懋筠（1900-1957），他是民国时期最著名的音乐家之一。

程懋筠幼时即喜欢音律，后考入江西省立高等师范专攻小提琴。1916年留学东京音乐学院，主修声乐，两年后兼修作曲。回国后受聘于南昌一中、浙江湘湖师范学校、英士大学、中央大学等校，先后谱写了《中正大学（现南昌大学）校歌》《英士大学校歌》《中央大学校歌》和《中华民国国歌》(又名《三民主义歌》)，后者在1936年柏林夏奥会上获评“世界最佳国歌”。因是中华民国国歌的作曲者，他后来遭到清算，英年早逝。程家后世音乐人才辈出，但懋筠的弟弟懋型却是在江西省田粮处长任上，因无法完成上级下达的收粮任务在吉安白鹭洲投水身亡。

三房程楙采是嘉庆年间的进士，1825年授甘肃凉州知府，后升为山东按察使、安徽布政使、安徽巡抚。1841年，因黄河决堤河南祥符，皖境被灾，以治理不力，被革职留任。翌年英国军舰驶至江宁（今南京）时，他带兵防芜湖，募乡勇1400多人，劝办团练。次年调任浙江巡抚，惜未赴任便卒于安庆。他的孙子程一琨和曾孙程时徇均曾任工部主事，后者是程天放的远房堂兄弟、许宝騄母亲程时嘉的亲兄弟。

说到江西新建程家与浙江钱塘许家的联姻，最早并非许宝騄的父亲许引之和母亲程时嘉，而是出自他们的曾祖辈，即许学范的三子许乃济与程家大房程矞采，他们是儿女亲家。事实上，许乃济儿子许侗身娶了程矞采的一个女儿，而程矞采另一个女婿钱应溥（1824-1902）也是浙江（嘉兴）人、钱镠的第30世孙，曾任军机大臣兼工部尚书，所著《葆真老人日记》多记同治、光绪两朝政事。多年以后，钱应溥的孙女钱同嫁给了许宝騄的二哥许宝骙。

说到许乃济（1777-1839），他是1809年进士，选庶吉士，授编修，1820年任山东道监察御史，官至太常寺少卿。马克思在《鸦片贸易史》中写到他：“1837年，中国政府终于到了非立即采取果断行动不可的地步。因输入鸦片而造成的白银不断外流，开始扰乱天朝帝国的国库收支和货币流通，中国最有名的政治家之一许乃济，曾提议使鸦片贸易合法化而从中取利；但是经过帝国全体高级官吏一年多的全面审议，中国政府决定：此种万恶贸易毒害人民，不得开禁。”

程家原本是农耕家庭，程氏九房兄弟的曾祖父叫程玉碌，看上汪山“山可樵，水可饵”这一风水宝地，便定居于此，后靠养鸭渐渐致富，并乐善好施，被百姓尊称为“鸭太公”。他十分重视子女教育，虽说儿子、孙子科举落榜，到了曾孙辈，终于咸鱼翻身，有了“一门三督抚”的荣耀。笔者抄录程氏先辈的几条教诲在此：心静为入德之门；有势不可使尽，有福不可享尽，贫穷不可欺尽；惜福者添福，享福者减福；人非才不能干事，然干事持才傲物亦招祸之尤也。想必程家的各种优良家风，也通过母亲程时嘉的言传身教传递给了许宝騄。

3.汇文中学和游戏

话说许宝騄一家初到北京时，寄居在他姐夫俞平伯家。那时，他的数学尚是弱项，为了通过汇文中学的入学考试，家人特意聘请了北京大学数学系教师吴辑熙为其讲授代数和三角。据年长他一岁的二哥许宝骙在《许宝騄事略》一文中回忆，“从头起步，仅阅两月即成绩斐然，亦由引起兴趣，其数学天才开始崭然显露。是年暑假后，考入北京汇文中学高中一年级，肄业三年……”

北京汇文中学有着悠久的历史，其前身是1871年美国基督教会卫斯理宗附设的蒙学馆，1888年更名为北京汇文书院（同年命名的南京汇文书院后来演变成金陵大学）。北京汇文中学有许多知名校友，如考古学家贾兰坡、建筑历史学家梁思成、建筑师林同炎、科学家王大珩和王忠诚、书法家启功、文学家肖复兴、足球名宿年维泗，以及政界人物陈昊苏、李沛瑶、万国权，等等。

笔者对那位把许宝騄引入数学之门的吴辑熙老师的数学功底不甚了解，但却查阅到，他同时也是一位摄影艺术爱好者。从1919年开始，在新文化运动的影响下，北京大学教师中的摄影爱好者每年在校内举办一次摄影展。1923年，他们成立了艺术写真研究会，不设会长，吴辑熙和黄振玉、陈万里等是最初七八位成员之一。不久，研究会易名北京光社，1924年6月，北京光社在中央公园（今中山公园）来雨轩举办了第一次摄影展，两天内吸引了五六千人参观。

北京光社是我国第一个摄影艺术团体，比摄影大师郎静山等人创办的上海华社要早，后者成立于1928年。北京光社以优异的创作实践和美学论著，揭开了中国摄影艺术的帷幕。1927年第4次影展后，在后期主要骨干、诗人刘半农倡议并主持下，北京光社开始编辑出版《北平光社年鉴》，这是我国第一部摄影年鉴，16开铜板精印。刘半农早年留学英法，在伦敦写成名诗《教我如何不想她》，获法国国家文学博士学位后回国，担任北京大学国文系教授。

不仅如此，1925年，吴辑熙还与顾颉刚、俞平伯、朱自清等人在北京重组当年早些时候在上海因故解散了的由郑振铎、叶圣陶、郁达夫、沈雁冰（茅盾）等人两年前发起的书社——朴社，由顾颉刚担任总干事。经过一番紧张筹备，书社在北大二院对门开业。顾颉刚毕业于北京大学哲学系，后来留校任教，成为著名的历史学家、民俗学家、中央研究院首批院士，他当年的日记里留下了朴社开幕的记载。 

所谓“北大二院”就是北大在原四公主府的旧址，这位公主是乾隆宠爱的和硕和嘉公主（1745-1767），她是电视连续剧《还珠格格》里紫薇的原型。1918年红楼建成后，成为北大文学院所在，又称“北大一院”，而老校址改作北大理学院，即“北大二院”。值得一提的是，前文提及的北京光社最初也是设立在“北大二院”，因为发起人陈万里是北大二院的西医医生。笔者保留有家父1940年代末就读北大历史系时在“北大二院”与同学们的合影，看来那会儿“北大二院”仍是时尚之地。

在汇文中学读书期间，许宝騄常与表姐夫徐传元讨论数学，得到指点，很有收益。这位表姐夫字孟轮，江苏嘉定人（今属上海），出身于书香门第，毕业于哈佛大学和麻省理工学院，是铁路工程师。他的爷爷徐邮是清同治年间状元，曾任江西学政和安徽学政，兵部尚书和礼部尚书。父亲徐桢祥署直隶天津兵备道，弟弟徐传文是迈阿密大学硕士，儿子徐家昌是天津文史馆馆员。

许宝騄的外语天赋很好，除了汇文中学课堂上学的英语，他还利用业余时间，学习法语，两年以后可以写短文和会话。后来，他还自学了德语和俄语。更有趣的是，清顺治年间，中国的知识界便开始玩一种“移棋相间法”（又名“黑白相间法”）的游戏。清末，经学大师俞樾和夫人闲暇也尝试并喜欢这一游戏，并有诗云：“闲将棋子试推移，黑白分明亦一奇。”对此许宝騄和俞平伯也曾加以研究。

这种游戏是这么玩的：取黑白棋子各若干数量相等，分列左右并连成一行。如左边全黑，右边全白。每次移动必须取两个相邻的棋子，一起移到空格或旁边的新格，直到最后黑白相间，且仍连成一行为止。不仅文人爱玩这个游戏，科学工作者也喜欢，且历久弥新。2019年，98岁高龄的物理学家杨振宁为纪念许宝騄先生110岁诞辰，为《数学文化》杂志撰写了一篇文章《许宝騄与“移棋相间法”》。他回忆道：

“1940年前后在西南联大物理系和数学系的师生们许多都喜欢玩一个移动2n个围棋子的游戏。我也对它花过不少时间，始终未能完全解决。20多年后我在美国重新研究了它，终于解决了所有n = 3,4,5……的游戏，可是没有把答案写下来，只记得解决的一个关键方法是利用模4同余。”

“最近看到一本关于许宝騄的书，《道德文章垂范人间》，其中316页上有一篇俞润民的文章，说许曾研究“移棋相间法”，曾发现“合四为一之新律”。我猜，此新律恐怕就是后来我发现的模4同余方法。这几天重新研究此游戏，再度得到全解。”

这里杨振宁提到的俞润民是俞平伯的儿子、许宝騄的外甥。杨先生并在他的文章中图文并茂地给出了结论和答案，即当n大于或等于3时，只需移动n次，就可以完成目标值。假如前一步自左向右移，后一步自右向左移，或者相反，这被称为互移。而假如是连续两步都朝一个方向移动，称之为顺移。那么，更精确的结论是，若n为奇数，需要每一次都是互移，而若n为偶数，则需要有一次顺移。   

按照俞润民的记载，俞樾夫妇曾推至20步棋，而中学生许宝騄与姐夫俞平伯经过研究可以推至50步棋，并总结出四条规律。这虽然只是博弈，也可见许宝騄在数理方面的天赋。说到这里，笔者想起了许宝騄的字是闲若，想必这个名字有潜移默化的作用，毕竟许家上下都是以文科见长。接下来，我们也会谈到他在昆曲方面的爱好和造诣。

4.清华大学算学系

1928年，许宝騄从汇文中学毕业，考入燕京大学化学系。由于发现自己的数学兴趣更浓，而当时清华大学的数学最好，于是第二年，他便申请转入了清华大学（那时还叫算学系），仍从一年级开始读起。当年这类跨校换专业还是比较容易实现的，与他同龄的天津人、戏剧家万家宝（曹禺）也于翌年由南开大学政治系转入清华大学外文系。另一位同龄人、数学家柯召也由厦门大学转学来到清华大学，不过那时他已经是三年级了。

说到高考，当时大学不多，没有全国统考，由各所大学自己命题，单独考试并招生，许宝騄同时报了清华和燕京两所大学。原本，按照许宝騄的中学学习成绩和水平，考入清华大学是没有问题的。可是，也正由于许宝騄学业太优秀、才思又敏捷，考试时有不少认识他的考生问他题目怎么做，而他居然真的去帮助别人做题，因而没有被清华大学录取，而是被燕京大学录取了。

当时，清华算学系有熊庆来、郑桐荪、孙光远、杨武之等留美归来的教授。那会儿，比许宝騄小一岁的陈省身在南开大学念书，1926年他15岁时就上了大学。许宝騄入读清华的第二年，陈省身考入清华研究院，成为我国第一个研究生。而与许宝騄同龄且小两个月的华罗庚还要再过一年，才应系主任熊庆来先生的邀请，来清华算学系担任图书管理员。华先生没有上过大学，他是通过自学成才的。

当年，清华算学系的某些课程，只有五位高材生听众，他们是研究生陈省身和吴大任、本科生许宝騄和柯召，还有职员华罗庚。其中吴大任是广东人，和陈省身一样来自南开大学，是著名的“南开三吴”之一，另外两位是比吴大任年长一岁的哥哥吴大业和堂兄吴大猷。吴大任后来获得伦敦大学数学硕士，担任过南开大学副校长和中国数学会名誉理事长，而他的两位哥哥分别获得哈佛大学经济学博士和密歇根大学物理学博士，成为各自领域的佼佼者。

据说当时算学系有一位教授叫李达，湖南平江人，毕业于东南大学数学系，德国慕尼黑大学数学博士，曾在瑞典的《数学学报》发表过论文，撰写了我国最早的有关差分方程稳定性方面的论文，也是最早参加国际数学家大会的中国数学家之一（1932，苏黎世）。据《柯召传》记载，每逢李达教授上课，许宝騄必逃课，系里知道后，专门派教师去听李达的课，查明原因是老师讲课水平不高后，非但没有处分许宝騄，反而解聘了李达。由此也可见，清华算学系对教师的教学要求非常严格。

不过也有资料显示，当年李达是主动辞职的，他被青岛的国立山东大学聘为教授兼数学系代理主任。那会儿李达的德裔妻子与之分手归国，他后来娶了一位中国姑娘。据说他在山大教学认真，深入浅出，注重培养学生的独立思考和创新能力，还亲自翻译了《微分几何》等教材，撰写了《数学的本质与应用》和《三十年来中国的算学》等富有哲学和史学意味的科普文章。1946年，李达趁赴美进修留在了美国，他利用自己的专业特长，在航天和宇航领域做出了重要贡献，并曾服务于阿波罗登月计划。

许宝騄在清华大学读书期间，在国文系任教授的姐夫俞平伯组织谷音社，研习昆曲。昆曲是许宝騄自小爱好的，自然参与其中，两位大哥、大姐和四姐也是同道。他们已故的父亲原本就是票友，业余爱填词，还写有《蕉石词》，儿女们都受到了感染。加上国学底子深厚，因此昆曲对许宝騄来说不仅仅是爱好，如同宝骙所回忆的，“宝騄品娴音律,辨音极准,每听一曲,不数遍即能写出其工尺谱,试之不爽。能操二胡,时复一弄……”

那会儿桥牌刚传入清华不久，颇为流行，许宝騄积极研读桥牌方面的书籍，牌艺出众。后来在西南联大任教时，他是清华校队成员，经常参加比赛。平日里他也在姐夫俞平伯家打牌，牌友中有文学家朱自清、浦江清，后两位有“清华双清”之誉。浦江清是江苏松江（今属上海）人，古典文学专家，曾是陈寅恪在清华国学研究院的助教，在牌友朱自清去世后代理中文系主任，并主编了《朱自清全集》。或许那时候，许宝騄开始感受到“生活中的广泛爱好与献身数学之间的矛盾”。

1933年，许宝騄从清华大学毕业，获得理学学士学位。那时清华每年都有一个名额，利用退还的庚子赔款去英国留学。许宝騄考中了，但由于体重太轻体检没通过，未能在当年出国。事实上，他在清华念书时不到40公斤，而身高有1米76。于是他下决心调养身体，一年后情况好转，就到北京大学数学系当了助教。正值哈佛大学教授奥斯古德来北大讲学，许宝騄在他讲学的两年里一直是他的助教，因此在分析和代数方面有了提升。奥古斯德在随后出版的有关著作里，也提到了许宝騄对他的帮助。

1936年，许宝騄再次考取赴英留学并通过了体检，被派往伦敦大学学院。同年，华罗庚赴剑桥大学进修解析数论，他是得到中华文化教育基金会的资助。两个人虽然没有同行，但旅行路线应该基本一致。据王元著的《华罗庚传》描述，那次华罗庚和物理学家周培源同行，他们先是从上海乘船去海参崴，再乘火车经西伯利亚去莫斯科、柏林，到伦敦后再转剑桥。

在出发去英国之前，许宝騄曾到北京西北郊的香山疗养，他住在香山脚下的一座房子里，俞润民和熊庆来先生的儿子曾骑自行车来看望过许宝騄。那时他已患上肺结核，香山景色怡人、空气清新，氧气含量远远高于城里，还有两千多米深的矿泉水可以饮用，是调养身体的好地方。许宝騄在香山疗养了一段时间之后，身体大为好转，才动身去了英国。临行之时，身为大姐的俞平伯夫人许宝驯赠诗弟弟：

炎炎六月赋西征，愿君麟角早成名。

善调眠食珍长路，还翼音书寄客程。

他日壮游旧故里，扁舟同载圣湖行。

5.伦敦的统计学派

伦敦大学学院（UCL）位于伦敦市中心，是1826年创建的公立联邦制研究型大学，起初叫伦敦大学，是英格兰第三所大学（仅次于牛津和剑桥）。1836年，它与1829年创建的伦敦国王学院共同组建伦敦大学系统，原伦敦大学更名伦敦大学学院。伦敦大学现有18所学院，包括著名的伦敦政治经济学院（LSE），伦敦帝国理工学院（IC）也曾于1907年加入，但于2007年退出。如今上述三所大学和剑桥、牛津组成英国G5超级精英大学。

伦敦大学学院的毕业生和校友中有三位菲尔兹奖得主，他们是罗斯（1958）、贝克（1970）和高尔斯（1998），前两位的研究领域分别是解析数论和超越数论，罗斯获奖时任教于伦敦大学学院，贝克在伦敦大学学院读到三年级时转去了剑桥大学，后来留在了那里。高尔斯的研究领域是泛函分析和组合数学，他的祖父是作曲家，父亲是作家，他在剑桥大学取得博士学位，获得菲尔兹奖时他是伦敦大学学院的讲师。此外，伦敦大学学院校友里还有33位诺贝尔奖得主，现代日本的缔造者“长州五杰”也曾就读于此。

1936年秋天，当许宝騄来到伦敦大学学院时，首届菲尔兹奖刚刚在挪威首都奥斯陆颁发。他入读的不是数学系，而是统计系和高尔顿实验室，这个系创办于1911年，是全世界最早创办的统计系，创办人卡尔·皮尔逊（Karl Pearson, 1857-1936）是数学家、现代统计学的创立人之一。而弗兰西斯·高尔顿（Francise Galton, 1822-1911）是英国科学家、人类学家、探险家，以其开创性的人类智力和优生学研究著称，1909年被封爵士。

高尔顿的父亲是位富有的银行家，母亲与生物学家达尔文的父亲是同父异母的兄妹。他是神童，一岁认识所有大写字母，四岁会作诗。在德国念书时弃学去南欧旅行，18岁入读剑桥大学三一学院，对数学和自然哲学产生兴趣。毕业后不久，他的父亲去世，他继承了大笔遗产，可以无忧无虑地生活，于是离开剑桥，去非洲探险，曾数度前往尼罗河和博茨瓦纳的恩加米湖考察，获得许多有价值的资料。高尔顿34岁入选英国皇家学会，同年结婚，但无子女。

高尔顿一生共发表了9部著作和200多篇论文，他习惯于用数量说明问题，他是指纹辨识和应用统计学的先驱。1859年，表哥达尔文《物种起源》的出版引发了他对遗传学的兴趣，他创造了优生学（Eugenics）这一词汇，并在UCL建立优生学讲座和优生学实验室。1908年，高尔顿出版了自传《一生的回忆》，翌年他被爱德华七世封爵。两年以后，高尔顿去世，同年UCL成立统计系。

皮尔逊祖居约克郡，出生于伦敦，他的兴趣同样很广泛。剑桥大学国王学院毕业后，他先去德国的海德堡大学学习物理学和哲学，然后去柏林大学学习罗马法，并深入了解了德国的民俗、文学、妇女问题以及宗教改革的历史。1884年，他受聘UCL应用数学和力学讲座教授，在读到高尔顿著作后，决心把全部精力用在统计学，长期担任《生物测量》和《统计学年鉴》主编。1933年，皮尔逊宣布退休，三年后，他在许宝騄抵达伦敦的当年去世。如今，高尔顿和卡尔·皮尔逊被认为是生物统计学的代表人物。

虽然许宝騄没有见到高尔顿和皮尔逊这两位大人物，但伦敦大学学院的统计学后继有人，卡尔·皮尔逊的儿子伊根·皮尔逊（Egon Pearson, 1895-1960）和罗纳德·费希尔（Ronald Fisher, 1890-1962）分别继承了老皮尔逊的两个职位，担任统计系主任和高尔顿实验室主任。此外，还有乔治·内曼（Jerzy Neyman, 1894-1981），一个纯粹的波兰人，出生于俄国宾杰里（今属摩尔多瓦），毕业于乌克兰哈尔科夫大学，两年前刚被小皮尔逊聘请过来，在当时还只是讲师，他成为许宝騄的博士指导老师。

与许宝騄一样，内曼是个语言天才，他精通七门语言，并能够用其中的五种讲课。他在哈尔科夫大学毕业后留校，随后回祖国波兰任教，先是在农业研究所和农学院工作，然后在华沙大学任教。在华沙期间，内曼获得政府资助去伦敦访问，既领教了老皮尔逊的霸道，也与费希尔和小皮尔逊结下了友谊，并与后者有长期的通信合作，建立了数理统计中赫赫有名的内曼-皮尔逊理论，在推断统计学（又称统计推断）方面做出了重要贡献。

1938年，许宝騄通过了博士论文答辩。他在两年内发表了三篇高质量的论文，但在UCL，数理统计方向的博士生还需要编制一张统计表，而许宝騄因为成绩优异，被破格只用统计实习的口试来代替，他获得了哲学博士学位（Ph. D）。两年以后，他又获得了荣誉性质的科学博士学位（D. Sc.）。既然是荣誉，自然就没有指导老师了，事实上，在许宝騄获得哲学博士学位的那年，内曼就被大洋彼岸的加州大学伯克利分校挖走了，但他曾多次讲过，许宝騄是他最好的学生。

现在来介绍费希尔，他和高尔顿、老小皮尔逊被认为是现代统计学的奠基人。从剑桥大学岗维尔-凯思学院毕业后，他在不同的部门从事过统计工作和教学，1933年受聘UCL教授，十年后他回到母校剑桥大学任教,1952年被封爵，两年后退休，移居澳大利亚阿德莱德。他在统计学的多元分析理论方面做出了重要贡献，解决了相关系数的恰当分布，给出了费希尔相容性等统计量，以及统计量的求解公式——极大似然解。

许宝騄在伦敦四年的主要工作，就是围绕着内曼-皮尔逊理论和费希尔的多元分析理论。1979年，许宝騄在美国伯克利教过的两位学生，同为美国科学院院士的莱曼（E. L. Lehmann，他的博士论文题目是由许宝騄给的）和安德森在《统计学年刊》上撰文，分别回顾了许宝騄在推断统计学和多元分析领域的贡献。当然，后一项工作一直持续到20世纪40年代他在西南联大和美国的工作，我们将在后文里一并提及，还有他在概率论领域的贡献。

遗憾的是，笔者对许宝騄在伦敦的生活毫无所知。不过，从许先生当年西南联大时期的学生、数学家徐利治教授后来的回忆文章中，我们可以看到他活跃的思维和对欧洲几位伟大数学家的看法。他认为笛卡尔引进变量概念，将形与数对应联系起来而发明解析几何实是数学史上最伟大的事件，从而相当来说，后来牛顿和莱布尼茨发明微积分就要容易一些。他还说过，“每一个数学系毕业生可以不知道哈代的学术成就，但却不可以不知道希尔伯特所作的数学贡献。”

6.昆明的西南联大

1940年，许宝騄告别英伦，返回中国，我们对他的回国经历和路线同样一无所知。在此之前，即1937年和1938年，陈省身和华罗庚已先后回国，他们都受聘西南联大数学系，一路辗转到达昆明。华罗庚是因为访问时间到期，陈省身比他们早出国两年，已经在巴黎做过博士后，他回国可能是为了结婚。在杨武之先生的引荐下，陈省身与清华另一位数学教授郑桐荪先生的千金通信已久，在那个年代就算是男女朋友了。1937年冬天，他们在长沙订婚了，婚礼则是1939年在昆明举办的。

据许宝骙文中记载，宝騄年幼时，父亲曾在杭州为他订有婚约，父亲去世后，全家北迁，待宝騄稍长，坚决要求退婚。无奈之下，母亲只好遂了他的意愿。而据俞润民回忆，他的大姑父叫郭则沄，差点做了许宝騄的岳父。郭氏祖籍福建侯官，生于浙江台州（其时他的爷爷郭式昌任台州太守），是清朝翰林，且曾留学东京早稻田大学。1908年夏，27岁的郭则沄赴苏州迎娶夫人俞氏俞琎，她是俞樾曾孙女、俞陛云长女、俞平伯大姐。此后，郭家与许家也成亲戚了。

郭则沄曾任浙江温处道、署理浙江提学使；民国时曾在徐世昌政府任国务院秘书长，交游至广。与此同时，郭氏才华横溢，著述浩繁，包括各种诗词吟社雅集，为民国京津文坛核心人物，所作《红楼真梦》为续《红楼梦》佳作，至今仍在再版。他曾出资为岳父刊印《小竹里馆吟草》，并为其作序。郭氏有女，虽辈分不同，但年龄和志趣与许宝騄相仿，且郭则沄与许宝騄父亲曾在北洋政府同事，作为儿女之事仍是合适的。据俞润民回忆并推算，1936年许宝騄留英以前，已与郭女有恋爱关系。笔者细考郭家诸千金，最有可能是长女郭可夸，她比许宝騄小四岁，就读于北京大学国文系，能诗会画。

郭可夸的诗书画

旧社会男人当家，没想到郭则沄的儿子郭可诠反对这桩婚事。郭可诠毕业于天津工商大学（现河北大学），后留学法国，学成归国后被政府部门派驻越南代表，几年后又被委派参与管理玉门油田的业务，为我国第一桶自产汽油和煤油做出了贡献。他欲将妹妹嫁与国民党的一个官吏，就这样许宝騄的婚事告吹了，这件事发生在他归国以后，此时郭则沄垂垂老矣，且早已经隐退津门。后来，兄长做主，郭小姐嫁给了一个铁路局长。坊间传说，许宝騄因为肺结核未能成婚，恐怕只是一种托辞。反而可能因为这次事件的刺激，许先生原本已经好了的病又复发了。

另据俞润民回忆，许宝騄后来在美国时，也曾有一位女士属意于他，这一次是自由恋爱。许宝騄在给俞润民的父亲俞平伯信中提到此事，还讲到他采取的策略是“以退为进”。这四个字似乎很符合许宝騄的个性和他的语言特征，同时也恐怕是他前次恋情失败的后遗症所至。用现代人的恋爱方式来看，应该是男方或双方主动，这或许是许先生终身独身的原因之一吧。

那时候在西南联大，集合了一大批中国知识分子的精英，数学系更是藏龙卧虎。系领导有原清华大学数学系主任杨武之、北京大学数学系主任江泽涵和南开大学数学系主任姜立夫。西南联大数学系先由江泽涵，后由杨武之负责。资深教授有郑桐荪等人（熊庆来已出任云南大学校长、孙光远调任中央大学理学院院长兼数学系主任），但科研最突出的是所谓西南联大数学系“三杰”的华罗庚、陈省身和许宝騄。

每学期开始，华罗庚、陈省身和许宝騄等人都争相开设新课，借以扩大学生们的数学知识面。有些课程还是在他们的研究范围之外，例如，华罗庚开过“连续群论”，陈省身开过“拓扑学”，许宝騄开过“微分几何”“富里哀级数与积分”。他们还积极联合开设讨论班，如“李群”讨论班、“形势几何”讨论班、“分析学”讨论班等等，培养了一大批数学精英。

那时候的昆明，生活条件非常艰苦，许宝騄住在一间宿舍，既是卧房又是书房，除了书桌、床铺和一块黑板，别无其他大物件。许宝騄的营养不足，体力日渐削弱，但仍坚持教学和研究。他经常与同事合伙包饭，偶尔也想到“打牙祭”。欲烹饪而苦无锅釜，只得以洗脸盆盛鸡豚煮食之，谓之“吃脸盆”。深夜研读，常常至蜡泪成堆，烟蒂盈器。

据当年西南联大学生江泽坚教授回忆（他后来与在联大读研的王湘浩共同创建了吉林大学数学系），许先生在一间偏远的教室里讲课，往往无法听到上下课的摇铃声，而他又没有手表，于是每次上课将一只装有闹钟的布袋放在讲台上。当学生们忽然听到布袋里铃声大作，许先生便笑着说一声“下课”，彼时同学们惊喜交加。

就这样，在条件如此简陋、图书资料又十分短缺的情况下，西南联大教授们的研究成果仍十分突出。就许宝騄来说，仅1941年就有五篇论文发表在外国名刊上。1942年，许宝騄荣获了国民政府颁发的首届“国家学术奖励金”，他和华罗庚是仅有的两位获奖的数学家，华罗庚以著作《堆垒素数论》获一等奖（奖金一万元），许宝騄以“数理统计论文”获二等奖（奖金五千元），其余获奖人（包括三等奖）大多是人文学科。

许宝騄的学生中，最出色的要数钟开莱，他和许先生是杭州同乡，两人都有很深的古典文学修养，都能用中文和英文写出典雅的文章，这是一般数学工作者难以企及的。这种东西方复合型文化的素质和修养，是他们事业成功的重要因素，也是他们师生友谊历久不衰的原因之一。据徐利治回忆，徐利治和钟开莱曾讨论过翻译出版英国经济学家凯恩斯论述“概率概念”的著作，看来他们对凯恩斯的概率论思想都是比较赞赏的。

虽然温文尔雅，许宝騄却有着坚毅的意志品质和决断能力，就像19世纪的德国数学家黎曼一样（两人都被肺结核困扰一生）。钟开莱当年以第一名的成绩被西南联大录取，后来跟华罗庚做毕业论文，两人都比较自负，师生关系并不很融洽，据说讨论问题时都曾拍案而起，相互反问：你有什么了不起？钟开莱论文答辩全票通过，留校时询问导师意见，华罗庚回答“不留”，许宝騄马上说“你不留我留”。结果钟开莱改从许宝騄，世界多了一个概率论大家，在20世纪下半叶，钟开莱成为美国概率论教父级的人物。

许宝騄的文学修养既熏陶出雅儒的气质，也帮助他用形象思维的语言来解释现代数学的某些概念。据徐利治回忆，有一次许先生和他谈起拓扑学中的“拓扑变换”概念时说，“当我们看到杨柳的摇曳或小河水流的流动时，如果要把它们描述成是质点或分子的变换，那就只能而且必须抽象出‘拓扑变换’的概念。这也说明，作为描述空间形体最一般变换的几何学——拓扑学的产生是十分自然的、必然的。”

1941年夏天，时任中华文艺界抗敌协会总务部主任的作家老舍在西南联大国文系主任罗常培（许宝騄搭伙的对象之一，中央研究院首批院士）陪同下从重庆飞抵昆明，开启了为期两个半月的云南之旅。在昆明期间，老舍住在翠湖附近的靛花巷，那里汇集了哲学家汤用彤、冯友兰，史学家郑天挺，语言学家袁家骅等多位学术泰斗。许宝騄先生也在其中，老舍到来之后，常到的访客又多了杨振声、闻一多、沈从文、卞之琳、朱自清等人。

老舍很喜欢昆明，喜欢靛花巷，他在《滇行短记》里写到，“昆明很静，这里最静；月明之夕，到此，谁仿佛都不愿出声。”他还将昆明与故乡北京而不是陪都重庆做了对比，“我喜欢那比什刹海更美丽的翠湖，更喜欢昆明湖——那是真湖，不是小小的一汪水，像北平万寿山下人造的那个。土是红的，松是绿的，天是蓝的，昆明的城外到处像油画。”

早年老舍曾在伦敦亚非学院求学，在英伦生活了五年，他在靛花巷逗留期间，不仅与许宝騄有许多交流，想必也多次欣赏了“逢会必唱”的许先生的昆曲表演，在《滇行短记》里他这样写到，

宝騄先生是统计学家，年轻，瘦瘦的，聪明绝顶。我最不会算术，而他成天地画方程式。他在英国留学毕业后，即留校教书，我想，他的方程式必定画得不错！倘若他除了统计学，别无所知，我只好闭口无言，全没办法。可是，他还会唱三百多出昆曲……与许先生约定：到抗战胜利后，一同回北平去学，不但学，而且要彩唱！

7.美国的东西海岸

1945年，抗日战争取得了最后的胜利，由于许宝騄在伦敦和昆明期间出色的科研成绩，美国多所名校竞相邀请。他因此出发访美，在伯克利加州大学和哥伦比亚大学各讲学一学期，随后又应邀去北卡罗来纳大学协助创建统计系。伯克利和哥伦比亚大学如今是美国超一流大学，北卡罗莱纳大学也是名列前茅的公立大学。但那时即便伯克利，数学领域的学术地位尚待提升，离陈省身在那里建立美国国家数学研究所并出任首任所长尚有36年的时光。

许宝騄的个人档案上有这样的记录，1945年至1947年在北京大学停薪留职两年。由此可见，西南联大解散时他选择了去北大而不是清华。这个选择无疑是正确的，否则的话到了1952年院系调整，他还是要回北大的。在赴美前夕，许宝騄由昆明到达重庆，见到了大哥许宝驹。大哥和二哥许宝骙是1941年在重庆成立的中国民主同盟的发起人，这是一个秘密政治团体，得到了周恩来的关怀和指导。一夜倾谈之后，许宝騄毅然郑重地决定加入民盟组织，并接受联系海外华裔学者的任务，曾介绍气象学家涂长望参加组织。

涂长望是武汉人，气象学家，毕业于上海沪江大学，后来留学英伦，获得伦敦帝国理工学院硕士，后来在利物浦大学攻读博士学位。回国后先后执教清华大学、浙江大学和中央大学（南京大学），建国后曾担任中央气象局首任局长，1955年当选中国科学院学部委员。最后，涂长望参加了另一个民主党派——九三学社，并曾担任九三学社中央副主席。而许宝騄的两位哥哥后来也转到了民革，曾分别担任民革中央常委兼宣传部长、全国政协文史委副主任。

许宝騄先是来到美国西海岸的伯克利，他在伦敦的博士导师内曼在那里创立了统计学专业，当时数学系只有他一个教统计的老师，许宝騄的到来帮了他的忙，尤其是他的博士生莱曼受益匪浅。1945年圣诞节前夕，莱曼在导师布置的题目上已有进展，准备写成论文。可就在他做论文索引的时候，获得了一些参考资料。经过几天的阅读之后，莱曼沮丧地发现，他得到的主要结果半个世纪前就已经被一位俄罗斯数学家做出来了。

雪上加霜的是，就在这个时候，内曼要随杜鲁门总统出访雅典，作为抽样统计的专家，去指导希腊人的选举。这对于一位学者来说是一次难得的机会，因而内曼不会放弃。但这次出差可能长达数月之久，临行前内曼要处理好一些事情，最令他头疼的就是莱曼的博士论文，原本计划翌年春季完成的。那会儿莱曼几乎处于精神崩溃的边缘，内曼请求许宝騄给他提供一个新的题目，作为师兄的许宝騄似乎也责无旁贷。

几天以后，许宝騄给了莱曼一个新题目，是利用他和内曼创立的方法去探索一个未知的领域。当时莱曼有所不知的是，在此以前，许宝騄已经对这个问题有过探索，可以说是十拿九稳了。许宝騄在给内曼的信中写道，“我已经将检验接连观察值之间的独立性问题给了莱曼，作为他的博士论文题目，让他独立地完成我已经做过的工作，加上一些新的我没有做过的问题。我想那样能够满足您对他的要求，这样他就能够得到他的学位了。”

63年以后，早已是美国国家科学院院士的莱曼在一篇题为《一个博士的三个教父》的回忆文章中写道，“这是一种伟大的慷慨之举。他将自己计划要做的题目给了我，而且在这个方向上他已经取得了一些结果。我一直希望他在完成哥伦比亚大学的教学任务以后回到伯克利。然而，事情并非像我希望的那样，事实上，我以后再也没有见到过他。”1946年元月，刚抵达纽约不久的许宝騄便做出决定，在哥伦比亚大学的教学任务完成以后，他将不再返回伯克利。

这事与哈诺德·霍特林（1895-1973）有关，他出生于明尼苏达，最初在华盛顿大学攻读新闻学，后来把兴趣转向数学和统计学，1924年在普林斯顿大学获得博士学位。霍特林先是任教于斯坦福大学，后来转到哥伦比亚大学，期间曾去UCL访问，许宝騄在伦敦时他也在，因此得以结识。霍特林先是邀请许宝騄去东海岸的哥大任教半年，当他南下去教堂山的北卡罗莱纳大学创建数理统计系，又邀请许宝騄同行。北卡提供了副教授的职位，年薪5000美元，许宝騄接受了这一职位。

霍特林在计量经济学、多元统计分析和统计推断等领域都有重要贡献。他是多元统计分析领域的领军人物，在向量值随机变量的处理方面，引人了一些基本概念和方法。1931年，他推广了一元正态理论的扩展统计，被称为霍特林统计。“二战”期间，他在哥伦比亚大学组织一个统计研究组为军方服务，并发展了序贯方法理论。在经济学中也有个术语叫霍特林模型，认为价格或产出的不稳定性并非寡头垄断的基本特征。1970年，霍特林当选美国国家科学院院士。

北卡罗来纳大学教堂山分校创办于1789年，是美国第一所公立大学，如今北卡罗来纳大学系统共有16个校区，18万多学生，尤以位于中部小城教堂山的分校最为出色。该校教师和毕业生中已有9位诺贝尔奖得主和23位普利策奖得主，当然，最著名的校友还是篮球之神——迈克尔·乔丹，该校篮球队曾六次赢得全美大学篮球联赛冠军，仅次于加州大学洛杉矶分校和肯塔基大学。

由于许宝騄的一生深居简出，如今能收集到的最常见的他的照片寥寥无几，甚至2010年北京大学出版社为纪念许先生百年诞辰出版的纪念文集《道德文章垂范人间》（姜伯驹作序），也只有五幅照片，另附他的中英文手稿和书信各两幅（本文部分素材取自该书）。其中，拍摄于国外的照片只有一幅，那正是在北卡罗来纳大学。那是在1946年秋天，许宝騄刚来教堂山不久，与数学家克莱梅（H. Cramer）和统计学家巴特莱脱(M. S. Bartlett)三人合影。

统计学与概率论

回顾许宝騄先生的学术生涯，他在三个领域取得了突出的成就，即统计推断、多元统计分析和概率论。可以这么说，他在北卡罗莱纳大学时期的工作，已经比较完整地勾勒出了这个框架。特别地，许宝騄的工作在内曼-皮尔逊理论和多元统计分析中占有十分重要的先驱性地位。1979年，国际知名的《统计学年刊》邀请莱曼、安德森和钟开莱三位大家撰文介绍了许宝騄的生平和学术成就，他们对应的正是上述三个领域。

先来看统计推断方面。在内曼-皮尔逊理论形成之前，数理统计主要是寻求解决问题的方法，而在那之后，则提出了应该寻求优良的方法。优良性有其客观的标准，人们很快想到，现有的一些方法如t、F检验等是否具有优良性?也就是说，它们的功效函数是否局部最优？1938年，许宝騄导出了霍特林提出的检验在某种意义下是局部最优的。问题转化为，在零假设不成立时，如何导出的分布，即通常所说的非零分布，有了非零分布才能讨论功效函数的大小。

许宝騄的另一项重要工作是1943年在昆明做的，他对于线性模型的线性假设，第一次证明了似然比检验的优良性。若是用λ表示似然比检验非零分布中的非中心参数，他证明了：如果功效函数只依赖于λ，那么似然比检验就是一致最强的。后来的研究表明，上述条件等价于要求检验具有某一种不变性，而这种不变性对于问题本身是自然的、合理的要求，因而这就相当于证明了，似然比检验是一致最强不变检验。莱曼在纪念许宝騄的文章中，对这篇论文的意义予以高度评价，认为它开拓了多个领域的研究。

在参数估计方面，当时大部分人关心的是均值估计的优良性，寻找极小方差的无偏估计。1938年，许宝騄率先讨论了线性模型中参数的优良估计问题。他证明了，无偏估计具有一致最小方差的充要条件是四阶矩具有与正态相同的关系式。这项工作直到1952年才有同行从另一角度重新予以讨论，得出另一充要条件。在许宝騄去世十年后，方差分量模型引起统计界的广泛注意，他的工作无疑是起点，方法仍然有效，被赞为许氏模型。此外，在寻求统计量的极限分布，在次序统计量的极限律型方面，他也有重要贡献。  

再来看多元统计分析。所谓一元统计是分布，1928年，剑桥大学的统计学家威沙特在费希尔工作的基础上导出了一种半正定矩阵随机分布，被认为是多元统计分析的开始。遗憾的是，他的几何推导依赖于某些直觉的结果。如果能给出一个严格而清晰的证明，在理论上无疑是十分重要的。许宝騄解决了这一难题，他利用矩阵演算结合分析中的积分计算，给出了一个漂亮的证明，得到了一个如今被称为许氏公式的积分公式。从这个公式很方便导出著名的巴特莱脱分解，后者的发明人出现在前文提到的那张合影中。

另一方面，多元统计分析中不少统计量都与随机矩阵的特征根有关。费希尔和他的学生、印度统计学家劳(C. R. Rao，1921-)以及许宝騄等，都曾寻求正态总体样本协差阵的特征根分布，他们几乎同时获得了预期结果，尤以许宝騄的分析方法最为漂亮，他利用矩阵微分的工具严格而清晰地予以导出。后来，安德森在著作中把那些复杂的雅可比行列式的计算归功于许宝騄，他在北卡罗莱纳大学讲课时使这一方法更为系统，技巧也更娴熟。1951年，由当时听课的两位美国学生依据笔记整理发表了。

最后是有关概率论的工作。许宝騄在伦敦读研时，熟读了克拉美（他是北卡合影照的中间那位）的《随机变量与概率分布》，掌握了特征函数的工具。1947年，许宝騄与罗宾斯（美国国家科学院院士，曾与柯朗合写畅销书《什么是数学？》）合作发表了论文《全收敛和大数定律》，首次引入完全收敛概念。当时，国际概率界的兴趣点在于独立随机变量之和的极限分布，正在从古典向近代形式的转化。一些著名的概率论专家如苏联的柯尔莫哥罗夫、辛钦和格涅坚科，法国的莱维和费希尔等人都试图攻克这一难题。

1947年，许宝騄获得的主要结果是:行内独立的无穷小随机变量三角阵列的行和，依分布收敛到一个给定的无穷可分分布的充分必要条件。由于当时信息不通，许宝騄不知道别人的工作情况，回国前他把文章寄给钟开莱并附言：“我担心正在进行的工作会与别人的相重……”后来，他知道了格涅坚科和柯尔莫哥罗夫的工作，就没有发表自己的研究。

实际上，许宝騄所用的方法和苏联人用的方法并不一样，他的方法更为直接。1968年，当格涅坚科和柯尔莫哥罗夫合写的《独立随机变量之和的极限分布》英译本再版时，作为译者的钟开莱用附录的方式第一次刊印了许宝騄的文章。然而那会儿尚在人世的许宝騄并没有看到这本书，他至死都不知道自己的这一部分工作已经公开发表。

许宝騄回国后，对马尔可夫过程有过浓厚兴趣，他用纯分析方法研究了跳过程转移概率函数的可微性，曾做过一些马氏链的极限定理，但未发表，“大跃进”中断了讨论班，之后他的兴趣已转向组合设计。值得一提的是，在他于1945年完成的一篇论文中，第一次用特征函数方法来近似处理两个高度相关的随机变量的分布，给出了样本方差的渐近展开和余项估计。其难点在于二维分布的处理，这属于数理统计问题，但方法和工具是概率论中常用的特征函数。许宝騄去世后，这项工作引发国际上许多深入的研究

许宝騄晚年对组合数学产生了兴趣，他感到可以将矩阵的方法系统地引入组合数学。从1961年起，他主持一个试验设计讨论班，报告这一方面的工作，最后用笔名“班成”在《数学进展》上发表的文章是这一讨论班的成果，文中有一条矩阵的引理。后来在1966年初，他与段学复联合组织组合数学讨论班。文革期间，他也没有中断研究，当时看不到任何杂志，直到1970年才获得允许，那时他已瘫痪在床了。许宝騄在两个月内翻阅了1966年以后的全部《数理统计纪事》，了解到国际上的学术动态，写下了最后一篇与编码有关的论文。

1994年，徐利治访问斯坦福大学，在他西南联大的学长兼老师钟开莱家做客三天，谈起多年前他在匹兹堡大学遇见印度著名数学家劳的情形。钟开莱说，“劳是世界一流的统计学家，而许先生是和他处于同等地位的。”去年已过百岁华诞的劳在他的著作《统计与真理》中有一句广为流传的名言，“在终极的分析中,一切知识都是历史；在抽象的意义下,一切科学都是数学；在理性的基础上,所有的判断都是统计学。”

8.未名湖畔的黄昏

1947年底，尽管美国有多所大学邀请或挽留，许宝騄仍毅然决然地回到了中国，继续担任北京大学数学系教授。此时国共内战已经开打一年半，中共由战略防御逐渐转向战略反攻，孟良崮战役已经结束，不过那会儿延安尚在国民党手里，离“三大战役” 开打也尚有一年时光，形势仍错综复杂。细究原因，许宝騄归来除了出于爱国和报效祖国之心，恐怕也与他那次“以退为进”的恋爱失败有关。

那会儿许宝騄已经37周岁，即便是21世纪的今天，也属于大龄未婚男士了。翌年，许宝騄高票当选中央研究院院士，是首批入选的五位数学家之一，其余四位是姜立夫、陈省身、华罗庚、苏步青（正式候选人里还有江泽涵、陈建功和熊庆来）。但在合影里，却没有许宝騄，他还在医院里。这次回国也有婚约，不料他在与女友散步时受了凉，肺病又复发了，后来许宝騄主动提出分手，说“我不耽误你了”。

原本，回国之初许宝騄开设了新课“矩阵论”。但到了1948年夏，他便因肺结核和胃溃疡住院治疗了，其严重程度本该修养一年，可他半年后就回到学校，主持极限理论讨论班。1951年，他的第一个研究生赵仲哲毕业。翌年，他的侄孙许以超考入北大数学系，后来成为华罗庚的研究生。那时，北大已经搬到燕京大学校址，许宝騄又回到了燕园。除了教学和指导学生，他还短期内组织翻译了一批重要的苏联教材，包括菲赫金戈尔兹的三卷本《微积分学教程》和格涅坚科的《概率论教程》在内，都是由他负责校订的。

1953年7月16日，许宝騄的母亲程时嘉去世。关于许先生母亲后来的情况我们所知甚少，晚年她应该是和许先生的某个哥哥或姐姐一起过的。笔者只知老人家是江西新建人，新建是南昌西郊的千年古县，如今已成为南昌的一个区。1969年至1973年间，中国改革开放的总设计师邓小平被下放到新建拖拉机修造厂劳动，那里如今有一条“小平小道”供游人参观。还有一位数学家值得一提，那便是我国抽象代数的先驱曾炯，日本著名的《岩波数学词典》里收有两个曾炯定理。

曾炯家境贫寒，父亲打鱼为业，在亲友帮助下去南昌读小学，先后考取江西省立师范和武昌高等师范（武汉大学前身）。毕业后到中学任教两年，后考取庚子赔款公费生留学柏林大学，翌年转入哥廷根大学，师从著名女数学家、抽象代数奠基人诺特。1934年获博士学位后，随即赴汉堡大学做博士后。1935年回国，受聘浙江大学副教授。1937年，曾炯在南昌结婚。之后，曾任教于西部三所大学。1940年冬天，他因胃穿孔出血在西昌去世，享年43岁。

1955年，许宝騄当选为学部委员，是九位入选的数学家之一。除了许宝騄、华罗庚、苏步青三位首届中央研究院院士，还有王湘浩、江泽涵、李国平、柯召、段学复和陈建功。据说那年许宝騄在北大上“概率论”课，只讲了三次，身体就吃不消了，只得由赵仲哲老师代上。从那以后，许先生再也没有在教室上过课。他的讨论班以及一些小型报告、会议甚或研究生的论文答辩会等，全是在他家的客厅里进行，里头有块黑板。

从上世纪50年代中期直到他去世，许宝騄先生一直住在燕园佟府八号丙。这是一套四间的小平房，西边较大两间数学系张景昭老师住，东边较小两间许宝騄先生住，还有一间四平方米左右的小厨房公用。北大有许多教授住的宿舍楼叫某园或某某园，但平房很少，佟府如今早已人去房毁，遗址应该是在西门附近的北大办公楼东南几百米处。从前也有过佟府，后来成为燕京大学的女生部。笔者搜过地图，北大现在尚有一处叫佟园食堂的地方。

张景昭老师是浙江嵊县（今嵊州）人，1938年，张景昭与杨振宁同时考入西南联大物理系，但她很快转到数学系，成为杨振宁父亲杨武之先生的学生，后来留校做了他的助教，经常会到杨家来。杨先生回忆说，那时候的女生都穿蓝布大褂，张景昭却穿着红色西装，非常显眼。他还说自己在见到张景昭之前，心情像平静的湖水，见到她以后就起了波澜。

1944年，张景昭在云南石林

张景昭也是许宝騄的学生。张景昭比杨振宁年长两岁，而许宝騄比杨振宁大一轮。不知是哪位开明的北大领导安排，两位同乡竟然住在一套平房里。据许先生的学生胡迪鹤回忆，“张景昭与许先生合请一个保姆料理家务，并经常陪先生一起进餐。由于房子小，保姆只能早来晚归。”

张景昭曾经有过婚姻，先生是苏州人王传纶（1922-2012），不过彼时婚姻状态不详。王传纶是财政学家、金融学家，出生于商人之家，初中毕业后考入苏州大学高中部。抗战时期，他转入上海租界读高三。1938年，16岁的王传纶考取西南联大哲学心理系，一年后转入经济系，是联大“五才子”之一，他们是：湖北朱（光亚）、安徽杨（振宁），外加许（渊冲）和二王（王传纶、王希季），理文法工五堵墙。所谓“墙”，难以逾越也。

据李扬（曾任中国社会科学院副院长）、瞿强2022年发表的回忆文章《财金泰斗王传纶》，1941年起王传纶和张景昭伉俪曾在贵阳清华中学任教。笔者向清中有关老师处查证，1943年，王传纶的确曾在清华中学任教三年，但没有张景昭的资料。抗战胜利后，王传纶考入清华大学经济系读研，毕业后于1948年底赴英留学，在格拉斯哥大学深造。1951年回国，遇到土改运动，1953年起执教中国人民大学。王传纶是我国现代财政学的创始人之一，曾获“中国金融学科终身成就奖”。2004年，当年的“五才子”曾相聚在清华大学。

1956年，北大成立概率统计教研室，这是中国大学里的第一个，许先生担任主任。是年秋天，从北大、南开和中大抽调了50多名学生以及部分院校的进修教师，组成国内第一个概率统计培训班，随后连续开设了八届，学员共200多人，他们成为了我国概率统计的中坚力量。与此同时，从1958年起，许先生先后在北大主持数理统计、马尔科夫过程和平稳过程三个讨论班，其中第三个讨论班是在江泽培教授调任二机部以后由他接管的。

据香港浸会大学方开泰教授回忆，许宝騄先生曾言及，“一个好的讨论班，好像是一个酒缸，时间越长，酒就越香，一个人在这样的讨论班里去耽一阵子，他就会散发出酒的香味来。”在中国科学院院士中，概率统计专业的不多，陈希孺和严加安是其中的两位，他们年轻时分别去佟府听过许先生讲弱极限理论系列课程和参加许先生的马尔科夫讨论班。正如方开泰教授描述的，“他的客厅挤满了人，那种学术氛围和对许先生的崇敬是难以用语言来形容的。

1959年中秋时节，迎来了许宝騄先生50周岁大寿。教研室的同仁们商议，用《红楼梦》中写到的“凑份子”方式为许先生祝寿。每人多则十元，少则二元，共凑了一百多元，在颐和园听鹂馆订了两桌酒席。上席除了北大的江泽涵、段学复、程民德、廖山涛、江泽培诸位先生，还有科学院的华罗庚和王寿仁两位先生，下席是教研室的年轻教师和许先生的研究生。系主任段学复致辞以后，华先生当场赋诗一首，可惜众人没有记下来。

1959年，许宝騄与北大统计学同事和学生

1968年冬天，处于“文革”旋涡里的张景昭在北大一间厕所里自杀身亡。据张里千教授回忆，“张景昭老师去世后，我们就估计许先生恐怕也不行了。尽管相对于他的声望，他所受冲击算小的，但他的身体经受不住。”果然，两年后的1970年秋天，许先生偶染肺炎，没过几日，在亲友全不知情的情况下溘然长逝。他的床边茶几上，只有一支用了几十年的派克金笔和几页残稿。同年，王传纶再次迈入婚姻殿堂。笔者不知情的是，他与张景昭是何时开始分居的。上世纪90年代，一位美国统计学家来北大讲学，一定请主人带他去佟府八号丙，“不去那里看一眼，访问北京大学就没有意义。”

孟子云：尽信书不如无书。许宝騄也多次告诫学生“你念一本书，就是要故意与作者作对，尽量去挑书上的毛病，不要认为写书的人是大专家，就不会有错，很难找到一本一点错误也没有的书。”许先生生前，曾有意把自己的藏书和杂志捐献给系图书馆，但由于他患有抗药性的肺结核，图书馆怕病菌传染，故而拒收这些珍贵的资料。许先生过世后，作为旧书全部卖掉了。那时正值“文革”，谁都无法保留它们。

晚年的许宝騄食量很小，一天三小瓶牛奶，早中晚各一瓶，中餐和晚餐也只有两三碟小菜。外出时他随身携带着一只玻璃瓶，是专门用来吐痰的。“文革”期间一个深秋的下午，有人看见一个枯瘦的老人坐在校内的一处水泥地上，那正是许先生。他坐在一块小棉垫上，身旁有只空心草编的小篮子，篮子里头放着那只玻璃瓶。如同段学复告诉钟开莱的，“他（许宝騄）在用自己的方式研究大量古典组合问题的过程中度过了最后的岁月。”

 1973年，许宝騄大姐、俞平伯夫人许宝驯仿弟弟笔迹抄写他的诗词

1973年，许宝騄大姐、俞平伯夫人许宝驯写的纪念文字

姐夫俞平伯悼许宝騄

1981年，斯坦福大学统计系的走廊上，增加了一幅许宝騄先生的镶框照片。1983年，斯普林格出版社出版了钟开莱主编的英文版《许宝騄选集》。四年以后，斯普林格出版了一套以统计为主题的年历，对贡献杰出的统计学家，在他们生日的那天，印上名字和照片。总共有18位统计学家入选，许宝騄是唯一的中国人。而稍早一些时候，即1980年初秋，北大数学系召开许宝騄先生70冥寿纪念会，82岁的姐夫俞平伯因病未能参加，却写下了一首联语《挽许宝騄》：‍

早岁识奇才，讲舍殷勤共昕夕；

暮年共惆怅，云山迢遥又人天。

2023年5月初稿，9月修润

本文初载《数学文化》（内刊），后载作家杂志‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

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