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2012年是神经网络翻身的一年。一个具有划时代意义的模型AlexNet横空出世，在一个叫做ImageNet的图像识别竞赛中，以识别率远超第二名10.9个百分点的绝对优势，一举夺冠，引起了人工智能领域极大的轰动。辛顿三人的AlexNet成功的秘诀，是使用了“多层卷积人工神经网络”，这个短语中涉及的词汇，都可以靠“顾名思义”就大概明白了，唯有其中的“卷积”一词，说的是什么意思呢？今天我们就聊聊这个话题。

喵咪视觉的启发

故事得回到20世纪60年代初，哈佛大学两位神经生物学家休伯尔David Hubel和威泽尔Torsten Wiesel，作了一个有趣的猫咪实验，见图1。他们使用幻灯机向猫展示特定的模式，然后记录猫脑中各个神经元的电活动[1]。他们发现特定的模式刺激了猫咪大脑特定部位的活动。正因为他们在视觉信息处理方面的杰出贡献，荣获了1981年诺贝尔生理学或医学奖。

图1：1962年哈佛大学研究者对猫咪的神经生物实验

哈佛学者的实验证明，视觉特征在大脑皮层的反应是通过不同的细胞达成的。其中，简单细胞（Simple Cell）感知光照信息，复杂细胞（Complex Cell）感知运动信息。到了1980年前后，日本科学家福岛邦彦受猫咪生物实验的启发，模拟生物视觉系统并提出了一种层级化的多层人工神经网络，即“神经认知”系统，这是现今卷积神经网络的前身。在论文中，福岛邦彦提出了一个包含卷积层、池化层的神经网络结构。

福岛小时候家境贫寒，但好奇心让他对电子技术充满激情，后来他获得了京都大学的电气工程博士学位，1965年他加入了一个视觉和听觉信息处理研究小组，研究生物大脑。之后，福岛与神经生理学家和心理学家通力合作，组装人工神经网络。

1979年，「Neocognitron」神经认知系统问世了，灵感便来自于两种已知存在于生物初级视觉皮层的神经细胞：简单的「S」细胞，以及复杂的「C」细胞，它们后来分别演化成了现在神经网络中的卷积层和池化层，见图2[2]。

福岛老爷子今年已经88岁了，5年前他还发表了神经网络方面的研究论文。

图2：福岛邦彦1980年的“神经认知”系统

其实福岛邦彦40年前的认知系统已经具有了卷积神经网络的基本构型，但当时这个网络的神经元都是由人工设计而成，不会根据结果进行自动调整，学习能力不强等等。因此只能限制在识别少量简单数字的初级阶段。

来得早不如来得巧，卷积方法得以实用化是在1998年，法国计算机科学家杨立昆（Yann LeCun，1960-）将反向传播应用到卷积神经网络的训练之后。

杨立昆于生于法国巴黎附近，1983年在巴黎电子工程师高等学校获得了工程师学位，1987年在巴黎第六大学获得计算机科学博士学位，随后到多伦多大学在杰弗里·辛顿的指导下完成了博士后工作，与辛顿同为2018年图灵奖得主。

图3：杨立昆

1986年，正在攻读博士学位的杨立昆放下了另一个研究工作，开始专注研究反向传播。出于从休伯尔、威泽尔和福岛邦彦工作中获得的灵感，以及对哺乳动物视觉皮层研究的迷恋，他设想了一个多层网络架构，能够将简单细胞和复杂细胞的交替以及反向传播训练结合在一起。他认为这种类型的网络非常适合用于图像识别[3]。

1988年，杨立昆加入新泽西州的贝尔实验室。在此，他开发了包括卷积神经网络在内的多个机器学习方法[4]。并且真正实现了卷积神经网络，贝尔实验室将其命名为LeNet，就如他的姓LeCun一样，这是卷积网络的第一个名字。

人眼如何识别物体？

图像识别一直是人工智能研究中的热点，这是有原因的。本来人类的知识就来自于对世界的观察，从人眼开始，延伸到望远镜显微镜等等各种观测工具。我们伟大的科学，就是建立在许多许多观测资料的基础之上。

计算机要模仿人的功能和思想，也包括了人眼识别的过程，而眼睛是非常复杂精致的器官，加上与大脑神经的联系及反馈，形成的生物视觉机制，是数百万年间持续进化的高级产物，人类尚未完全弄明白，当然也不是那么容易仿效的。

人眼到底是如何工作的？你可能认为这很简单，人眼是一个光学系统，物体的反射光通过晶状体折射成像于视网膜上。再由视觉神经感知传给大脑。这样人就看到了物体。人工智能开始时就是企图如此来模拟视觉：接受器件将整个图像通过扫描成为像素，送到神经网络进行识别，如图4a。

然而，人眼识别似乎不是那么简单，那么，人眼是如何识别各种模式的？说得更具体一点，人眼如何识别一个手写的字母x？

图4：机器识别和人眼识别

从我们的经验知道，人眼“一眼就能”看出图1b中的每个小图中都有个x，无论这个x放在哪个位置？是大还是小？是红还是蓝？有没有背景图？

科学家们希望机器也能尽量做到这点，于是有人便搬出了“卷积”这个法宝。

卷积是个啥？

实际上，卷积概念的出现大大早于神经网络，如图4上方的数学表达式所示：它是一种从两个函数f(r’)和h(r-r’)相乘再对r’积分得到另一个函数g(r)的运算。

尽管名字不同，但与卷积类似的运算最早是于1754年出现在达朗贝尔的数学推导中，继而又被其他数学家使用过。不过，这个术语的正式登场是在1902年。

之后，在通信工程中，卷积用以描述信号和系统的关系。对于任意的输入f(t)，线性系统的输出g(t)表示为脉冲响应函数h(t)与输入的卷积。例如，歌手使用麦克风演出时，通过麦克风听到的歌声，与麦克风之前的声波是有所不同的，因为麦克风对输入信号有延迟和衰减的作用。如果将麦克风近似为一个线性系统，用函数h(t)来表示它对信号的作用，那么，麦克风的输出g(t)就是输入的f(t)与h(t)的卷积。另一个有趣的事实是，如果送进麦克风的输入是狄拉克d-函数的话，麦克风的输出便正好是它的脉冲响应函数h(t)。

仔细观测卷积的积分表达式，会发现积分号中h函数积分变量r’的符号为负。如果r是时间t的话，那就是说，h函数被“卷”（对时间翻转）到过去的数值，再与当前的f值相乘，最后再将这些乘积值叠加（积分）起来，便得到了卷积。这点在麦克风的例子中很容易理解，因为麦克风每个时刻的输出，不仅与当前的输入有关，还与过去的输入有关。 

图5：卷积

总结上面一段话，可以更简要地理解卷积：卷积是函数f对权重函数h的权重叠加。

数学的美妙之处在于抽象，抽象后的概念可以应用于其它不同的场合。比如卷积，可以被用于连续函数（如信号和系统），也可以被用于离散的情况（如概率和统计）；卷积的积分变量可以是时间，也可以是空间，还可以是多维空间，例如将它用于AI的图像识别中，便是卷积在离散的多维空间中的应用。

卷积层和卷积计算

现在让我们想想，当给计算机一个包括"X"的图案，它怎么才能找到这个“X”呢？一个可能的办法就是：让计算机存储一张标准的“X”图案，然后将这个标准图放到输入图的各个部分去比对，如果某部分与标准图一致，则判定找到了一个"X"图案。更进一步，这个标准图最好还有缩小放大转动等功能。

以上提到过，人眼“一眼就能”看出图中某个模式。其实这个“一眼就能”有个数学模型，就是d-函数。如果将d-函数用于卷积中，因为它只在某一个孤立点有值，所以它能够将f函数该点的值“抽取”出来。

如图6所示，标准图（图中的卷积核）就像一双眼睛，它的3x3窗口在7x7的输入数据上滑动，就像眼睛在图上望来望去，将符合标准的部分抽取出来。这个比对抽取的过程，就由卷积操作来完成。具体计算过程：卷积是将窗口扫描到的3x3矩阵元数值，与卷积核的3x3矩阵元数值逐一相乘再全部加起来，将得到的结果写到与窗口中心对应的1x1位置中。最后得到的（更大的，图中是7x7的）输出矩阵，就是卷积的结果。

图6：神经网络识别x时的卷积计算

也可以说，卷积核的作用，类似于代表某个模式的d-函数，它能把这个模式从原图中“抽样提取”出来。用前面描述卷积数学公式的语言来说，图6左边的输入矩阵，是f函数；卷积核是h函数；最右边的输出，是卷积计算的结果g函数。卷积核（图中的3x3矩阵）的矩阵元，是权重系数。卷积核的权重系数，与连接层与层之间的权重系数一样，也可以通过学习和训练过程进行优化。此外，还要用适当的激活函数达到非线性化的目的。

卷积的作用是“抽取”，抽取什么呢？在图像识别中，通俗地说就是抽取事物的轮廓。

池化层及卷积神经网络

让我们回头再想想人眼识物的更多特点。当我们从轮廓知道了那是一只猫之后，我们发现一个有趣又有用的事实：即使将图像缩小很多，我们仍然能够判定“那是一只猫”。这说明储存的轮廓图像有许多冗余的信息。

我们不需要太多冗余信息，因为它们浪费了计算机的储存空间。并且，有时信息多了是画蛇添足，反而增加判断的错误率。所以，我们将图6所示的卷积层的计算结果，送入一个叫“池化”的网络层。池化的作用便是对特征图进行降采样，降低信息的冗余，从而减小网络的模型参数量和计算成本，减少过拟合的风险，也对输入图像中的特征位置变化，诸如变形、扭曲、平移等等视觉模式漂移，更不敏感。

以上解释是针对一个卷积层加一个池化层识别一个简单模式而言。实际上，对输入的大量彩色复杂图片，需要识别的模式非常多，因此必须考虑许多复杂的因素，上面描述的特征提取器不是“手动”设计的，而是通过学习自动生成的。做到自动化，是使用反向传播训练的多层网络的魅力所在。不过，基本思想与上面所说是一致的：多个卷积层加非线性再加上池化层，足以识别出从简单模式（拐角、边缘等）到复杂对象（人脸、椅子、汽车等）的各类图像内容，见图7。

图7：卷积神经网络整体示意图

卷积加池化中的计算，看起来是乘法叠加，它们的总作用是提取重要信息并降维。为了更好地理解这两层神经网络的作用，我们也可以与声音信号的傅立叶分析相比较。一般的声音信号（如一段音乐）在时间域中是颇为复杂的曲线，需要每个时刻的大量数据来表示。如果经过傅立叶变换到频率域后，便只要少量的几个频谱，基频和几个泛音的数据就可以表示了。例如最简单的，某个单一频率的声波，在时间域是一连串的强度随时间变换的正弦函数值，而在傅立叶变换后的频率域，只是一个d-函数。也就是说，傅立叶变换能够有效地提取和存储声音信号中的主要成分，并且降低描述数据的维数。卷积运算在神经网络中也有类似的作用：一是抽象重要成分，抛弃冗余的信息，二是降低数据矩阵的维数，以节约计算时间和存储空间。不过当卷积神经网络应用于图像识别时，提取的是图像的空间变化信息，不是时间频谱。

卷积神经网络为大众熟知的最广泛应用是人脸识别技术，我们在手机照片中经常看到。比如，如图8所示，一张“人脸” 可以看做简单模式的层级叠加，第一个隐藏层学习到的是人脸上的轮廓纹理（边缘特征），第二个隐藏层学习到的是由边缘构成的眼睛鼻子之类的“形状”，第三个隐藏层学习到的是由“形状”组成的人脸“图案”，每一层抽取的目标越来越抽象，在最后的输出中通过特征来对事物进行识别（是或不是）。

图8：每一层的分类能力越来越“抽象”

神经网络虽然源于对大脑的模拟，但后来的发展则更大程度上被数学理论及统计方法所指导，正如飞机这一交通工具的发展过程，源于对鸟儿飞翔的模仿，但现代飞机的结构却与鸟类身体构造风马牛不相及。

参考文献：

[1]Receptive fields, binocular interaction and functional architecture in the cat's visual cortex.,  D. H. Hubel and T. N. Wiesel, The Journal of Physiology（1962）

https://www.aminer.cn/archive/receptive-fields-binocular-interaction-and-functional-architecture-in-the-cat-s-visual-cortex/55a5761e612c6b12ab1cc946

[2]Fukushima, K. (1980) Neocognitron: A Self-Organizing Neural Network Model for a Mechanism of Pattern Recognition Unaffected by Shift in Position. Biological Cybernetics, 36, 193-202.

https://doi.org/10.1007/BF00344251

[3]科学之路: 人、机器与未来 当机器思考时，人类会怎样？，作者: [法] 杨立昆，出版社: 中信出版集团，2021-8-1。

[4]Y. LeCun, B. Boser, J. S. Denker, D. Henderson, R. E. Howard, W. Hubbard and L. D. Jackel: Backpropagation Applied to Handwritten Zip Code Recognition, Neural Computation, 1(4):541–551, Winter 1989.