数学被欧洲近代自然科学的创始人伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）视为“书写自然界大书的不二语言”，其重要性不言而喻。基于它的出发点，数学可以分为纯粹数学（也称基础数学或理论数学）和应用数学，后者也包括了恰好80年前问世的电子计算机所催生出的计算数学。纯粹数学以开创数学领域、定义数学概念、证明数学命题为己任，按照上世纪上半叶的英国数学家和哲学家怀特海（Alfred Whitehead，1861-1947）的说法，“或许可以称得上是人类精神最具原创性的创造。”这种创造也令它有资格被供奉在“艺术”的殿堂里，导致怀特海的同代同胞、“纯之又纯”的纯粹数学家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）在他的随笔集《一个数学家的辩白》（A Mathematician’s Apology）中，视纯粹数学的最高美学标准为“无用”。在哈代眼里，像微积分或者线性代数这种对工程科学最具有应用价值的数学科目，也是最缺乏美感的，因而令他觉得“索然无趣”。有了这样的观念，在研究型数学家的基因中也或隐或现地存在着一条“仰视链”——血统越纯粹者则越高贵也。 

在许多国家，“纯粹数学高贵论”确实曾长期弥漫在数学家的群体中。比如在日本，纯粹数学优于应用数学的观念根深蒂固于学术传统。由于在19世纪中叶开始“西学东渐”，这种学术文化深受法国和德国的影响，将高度抽象的理论数学，如数论、代数几何和拓扑学，视为学术成就的最高境界。这时，纯粹数学常被视为一种“更高”的追求，因为它独立于应用，与追求知识本身的学术价值观相契合。同时，像京都大学数理解析研究所等机构在纯粹数学领域享誉全球，这种国际承认强化了一种观念，即顶尖人才致力于研究“纯粹”问题。 

然而，现代社会科技兴国的需求正在重新平衡这种等级关系，如同在日本历经弥久的男尊女卑传统今日也在慢慢瓦解一样。近几十年来，日本政府和工业界大力推动应用数学的发展，因为需要仿真、优化和数据科学方面的专家。与纯粹数学主要靠纸和笔（当然另加发达的大脑和锲而不舍的精神）而无需大量资金相比，那些能够解决工业问题的重大研究项目通常能获得更高的资助。这意味着应用数学正在迅速获得社会的认可和声望，即使在学术界也是如此。 

如今的日本，应用数学正迅速获得与纯粹数学同等重要的地位，甚至在职业机会和研究经费方面，应用数学往往更胜一筹。这个国家正努力弥合纯粹数学与应用数学之间的差距，有识之士认为，深厚的纯数学知识对于促进高水平创新至关重要，而应用数学对于现代产业的竞争力也必不可少。 

在中国，类似的“学术等级”现象也曾多年固守阵地。我记得很清楚的一件往事，发生在我于密歇根州立大学数学系攻读博士学位时的80年代末期。我的博士论文指导老师李天岩（1945-2020）教授访问大陆后返美，有天与我聊天时提到，他在与那里的教授交流时问及：听说国内数学系的，第一流的做纯数学，第二流的做应用数学，第三流的做计算数学，不知是否属实？那位在数学界名声很响的学者回答道：基本如此。这令自尊心极强的李教授感到“愤愤不平”，因为他是美国大学的“应用数学教授”，尽管出身于纯粹数学。之前李教授曾在京都大学数理解析研究所当过一年的“国际讲座教授”，跟我吐露过“薪水是日本正教授的一倍半”。针对“纯粹”高于“应用”之“怪现象”，他以他的日本学界朋友、一个国际有名的最优化专家为例，对我直言，“日本长期大致也是如此。”但他接着又强调说，“这在当今美国却是不可思议的。”

然而，即便在美国，部分纯粹数学家瞧不起部分应用数学家的例子也是层出不穷的，不过原因也是多种多样的，其中的一个或许为：被瞧不起是由质量所致。李天岩教授告诉过我另外一个故事：某校数学系一位挂着“大学杰出教授”招牌的纯粹数学家公开向一位本系和工程系的双聘教授诘难：你做的不是应用数学，而只是将数学应用到工程，虽然他的纯数学博士学位来自数学排名低于本校的一所三流大学而对方的应用数学博士学位可是被大名鼎鼎的麻省理工学院授予的。但是这一位“大学杰出教授”如果是另一位“大学杰出教授”李天岩的同事，却不大可能轻易地向后面这位应用数学家“叫板”，因为李天岩与约克（James Yorke，1941-）的合作论文《周期三则意味着混沌》首次定义了数学名词“混沌”，他们的“李-约克混沌定理”被普林斯顿高等研究院理论物理教授戴森（Freeman Dyson，1923-2020）在其美文《鸟与蛙》里称为“数学文献中的不朽珍品”（见知识分子往期推送：你是飞鸟？还是青蛙？｜伟大数学物理学家的演讲）。

“观念导致落后”，也许真的是由于“第二流”的人才只好“屈尊”去搞什么“应用数学”，据说到了70年代末期，中国的应用数学研究，虽有亮点，整体却显得有点乏善可陈。这其中的部分原因，是因为不少人做的是华人应用数学家林家翘（1916-2013）曾经抱怨过的“实用数学”，缺乏对大自然的深层理解；或者主要热衷于当空头理论家，“纸上谈兵”，却不屑于与工程师联姻。真正的应用数学，正如头顶麻省理工学院最高荣誉“学院教授”桂冠的林家翘所云，“通过运用数学方法来寻求对于科学事实和现实世界现象的知识和解释。”

1981年，当我所读南大计算数学专业班上半数同学大学毕业前准备报考研究生时，一位学业精湛者，报考了北京大学数学系著名教授、普林斯顿大学数学博士程民德（1917-1998）的应用数学研究生。早年在多元调和分析做出开创性工作的程教授，年近半百时转向应用数学，倡导开展模式识别、图像处理的研究。他深知当时的中国缺乏应用数学年轻人才，便高瞻远瞩地着手培养。我的同学被录取后随即被公派法国留学，刻苦研习应用数学，并获得国家博士学位，1990年被博士母校聘为正教授。

03

如果我们回顾英美两国对待应用数学的基本理念，或许对展望中国应用数学的前景不无裨益。在过去的三百年，英国应用数学的发展建立在牛顿发明的微积分和发现的经典力学定律基础之上。到了19世纪的工业化和应用科学时代，解决实际工程和物理问题的需求大大推动了应用数学的进步，西尔维斯特（James Joseph Sylvester，1814-1897）与凯莱（Arthur Cayley，1821-1895）等发展了代数学尤其是矩阵理论，大大添加了纯粹与应用数学的内涵。进入20世纪后，两次世界大战扩大了应用数学的范围，其中包括统计学、运筹学和数值方法。作为应用数学的一块重要地盘，英国的流体力学研究长期居于国际领先地位，以泰勒（Geoffrey Ingram Taylor，1886-1975）为一杰出代表。

至于美国，六年半前，计算数学家汤涛说过，“中国现在是经济大国，在强调基础研究的同时，还要借鉴美国的经验，充分发挥应用数学的引领作用。” 比起近代科学的引领者欧洲，应用数学在美国的发展起步较晚，然而从上世纪中叶起却迅猛发展。这个年轻的北美大国，从世纪之初以纯粹数学为重点，到了50年代已经在整个数学版图上成为全球领先者。个中原委是战争的需要、欧洲学者的移民、研究生的教育以及工业研究的兴起。 

更具体地讲，直到百年之前，美国数学仍然严重偏重于纯粹数学，即抽象代数、分析、几何和拓扑。应用数学，尤其是关于流体力学或连续介质力学等与技术科学关系密切的学问，被认为是“工程师的工作”或“应用物理”。与欧洲将应用数学（如催生出量子力学的哥廷根希尔伯特学派）深度融入数学的传统相比，那时的美国在应用数学方面的正规教育非常匮乏。 

然而，从30年代起，德国希特勒给大西洋对岸的美利坚“送去了”无价之宝——大批被迫逃离纳粹魔掌的犹太科学家。他们中间的杰出应用数学家带来了工程和物理领域严谨的数学建模传统。这些人中有希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）的弟子柯朗（Richard Courant，1888-1972）、冯·卡门（Theodore von Kármán，1881-1963）、冯·诺伊曼（John von Neumann，1903-1957；电子计算机之父）和乌拉姆（Stanisław Marcin Ulam，1909-1984；氢弹之父）。柯朗创办的之后以其命名的纽约大学柯朗数学科学研究所在全世界声名远播，去年去世的拉克斯（Peter Lax，1926-2025）15岁和家人从匈牙利逃出赴美，1949年被该研究所授予博士学位，之后终生任教于此，成为过去半个世纪中美国最伟大的纯粹和应用数学家之一。

美国投身二战后，深知应用数学对赢得战争的关键作用，于1941年在布朗大学设立了“力学高级教学与研究项目”，该项目在1946年成为美国第一个正式的应用数学研究生院。政府的科学研究与发展办公室设立了应用数学小组，旨在动员数学家参与战争研究，从而搭建起学术数学与军事工业工程之间的桥梁。运筹学也应运而生，致力于将概率论和统计学应用于战争策略。 

到了战后，这股发展势头并未减弱。美苏超级大国之间的冷战、计算机的出现以及工业研究（如贝尔实验室、国际商用机器公司）的需求，催生了对数学建模的巨大需求。在布朗大学引领下，纽约大学柯朗数学科学研究所和加州理工学院等纷纷设立了常设系科，专注于应用分析、数值分析和概率论。美国工业与应用数学学会于1952年成立，旨在促进数学与现实世界应用的融合。

之后的30年是计算机革命的时代。电子计算机的发展改变了应用数学，使其从单纯依赖解析解转向使用数值逼近和模拟。应用数学与计算机科学紧密结合，开发出用于求解线性规划、微分方程和优化问题的算法。到了80年代，以拉克斯为首的专家组向美国政府递交了里程碑式的建议书《科学与工程大规模计算小组报告》，将科学计算纳入应用数学的范畴。如今，美国应用数学具有高度跨学科性，涵盖了从物理建模到数据科学、人工智能和数学生物学等领域。

04

今日美国依然是应用数学的世界霸主，然而，如同在许多科技领域，中国在应用数学的进步速度乃至加速度已经双双高于美国。首先在机构设置上，中国已经建立国家应用数学中心，首批成立的13个区域中心分布全国各地，由所在地区主要大学管理。比如，江苏国家应用数学中心由南京大学和东南大学挂帅。其次，中国新兴的高科技公司已经充分认识到应用数学家的价值。它们中的模范是众所周知的手机巨人华为，任正非也公开表示：“我们真正的突破是数学，手机、系统设备是以数学为中心。”六、七年前，他自豪地告诉记者，华为“在全球有26个研究所”“有超过700名数学家”。在这些应用数学家中，一位来自土耳其的大学教授阿勒坎（Erdal Arikan，1958-）用他开创的极化码技术，为华为的5G编码立下汗马功劳。这个著名案例被汤涛教授写成了文章《华为5G与数学》，发表在《数学文化》杂志第10卷第3期上。 

华为与大陆中国的一些高校建立了研究中心，比如华为—西安交大数学与信息技术联合研究中心。然而，我因在海外教书，对国内高校积极参与信息科学高新技术发展的热潮缺乏直接的了解。去年夏天，我终于从任教了35年的大学正式退休，便有了更多时间可以待在祖国，参与数学知识的普及和数学文化的传播。最近，我有机会了解到香港一所名校在应用数学方面的突出成就。

美国的北方与南方各有一所名闻遐迩的理工学院，北方的那所国人皆知，这就是麻省理工学院，与哈佛大学比邻而居。而南方的那所在大陆中国则不一定人人皆知了，它叫佐治亚理工学院，有一众应用学科在国际上声名显赫，作为应用数学一重要分支的运筹学专业，则在美国排名第一。我不知道在中国大陆的“理工学院”或“理工大学”中，哪所是最“实力超群”的，但是在中国的最南端，确实有一所名副其实的“佐治亚理工的对等物”——香港理工大学（The Hong Kong Polytechnic University，简写是PolyU）。在马年春节前两周，我访问了它的应用数学系，聆听了几场“应用数学杰出讲座”，和一些学者的交流让我对这个系有了更加详细的了解。

恰好15年前，我曾经在香港理工应用数学系做过一次关于动力系统的演讲。那时的系主任是我的扬州老乡、朱自清的扬州中学校友、最优化名家祁力群（1945-），他于1984年获得美国威斯康辛大学的博士学位，对非光滑优化尤其是非光滑牛顿法有重要贡献，并开创了张量分析这一“高阶线性代数”的研究领域。实际上，几十年来，香港理工应用数学系的最强项就是优化理论与算法。祁教授荣休后的继任系主任陈小君也是国际优化界的知名学者，为美国工业与应用数学学会和美国数学学会双会士，将于今年8月在美国费城举行的国际数学家大会上做45分钟邀请报告。陈教授在非光滑非凸优化、随机变分不等式的研究成果，为数据科学与人工智能提供了核心数学框架。 

同样是讲座教授、也同样是美国工业与应用数学学会和美国数学学会会士的孙德锋是香港理工应用数学系的现任系主任。他于1989年毕业于南京大学数学系计算数学专业，1992年在母系获得最优化方向的硕士学位。南京大学数学系何旭初先生（1921-1990）生前领导了中国高校中最强的最优化理论与方法的教师队伍，培养出的优化英才包括我的大学同班同学何炳生和85级本科生孙德锋，他们都是中国运筹学会的会士。可惜的是，作为何先生的硕士弟子，我后来赴美读书被博士导师李天岩先生的“乌拉姆猜想”吸引，当了最优化的“逃兵”，从博士论文起进入了计算遍历理论，真是愧对师门。好在我退休后，在对“最优传输”的了解过程中恢复了和优化基础凸分析的友情。

孙德锋教授。图源：香港理工大学

1995年，孙德锋于中国科学院应用数学研究所获得博士学位，导师为中国运筹学奠基人之一、现已九旬的韩继业先生。孙教授深耕最优化领域30年，于2006年解决非线性半定规划强正则性的长期公开难题，2018年以其研发的大规模半定规划求解器 SDPNAL+荣获国际数学规划领域顶级奖项 Beale-Orchard-Hays奖；这个奖每三年评选一次，代表全球计算数学规划的最高成就。今天，以孙教授、陈教授为核心的香港理工学术团队，构建了国内最具影响力的最优化研究群体之一，在国际学术界占有相当的分量。

在短暂的停留中，我被布告栏贴出的一系列“杰出学者讲座”通知吸引，也顺便听了三四次演讲，演讲者均是北美、欧洲和大陆的名家，尤其让我感兴趣的是两位国内名气很大的纯粹数学家演讲的内容都属于应用数学，与当代物理密切相关，其一关于薛定谔方程无穷维算子的谱理论，另一个则涉及沃尔夫物理学奖获得者戴森做出过重要贡献的随机矩阵（random matrices，不是stochastic matrices）。 

过去的这一年，在应用数学系的访问者花名册上，华盛顿大学数学系和应用数学系的荣休教授洛克菲勒（Ralph Terrell Rockafellar，1935-）的大名出现了两次。他是凸优化真正的奠基者，1970年出版的里程碑式著作《凸分析》是我在念硕士打基础时的“必读圣经”，43岁时就在国际数学家大会（ICM）上做过45分钟邀请报告，1994年又做了一次45分钟ICM演讲。由于对凸分析基础理论的开创性工作，他于1982年荣获了美国工业与应用数学学会和数学规划协会（2010年后改名为数学优化协会）联合颁发的第一届但泽奖（George B. Dantzig Prize；但泽（1914-2005）发展了线性规划的单纯形法）；另一获奖者是剑桥大学的鲍威尔（Michael J. D. Powell，1936-2015），他因在数值优化领域的开创性工作而被表彰。去年年底，鲍威尔的博士弟子袁亚湘以杰出访问讲席教授的身份对香港理工应用数学系进行了短期的学术访问。

近年访问过香港理工应用数学系的国际优化界人士还包括佐治亚理工学院的Katya Scheinberg，大规模优化与机器学习融合领域的领军人物；比利时鲁汶大学的Yurii Nesterov，凸优化领域的一位领袖，和洛克菲勒一样获得过但泽奖和冯·诺伊曼理论奖。他们都具有俄罗斯血统。而具有中国血统的美国访问者包括南加州大学的彭仲熙和斯坦福大学的叶荫宇，他们也都是冯·诺伊曼理论奖得主。每年上百人的全球优化界访问者，活跃在全局优化、组合优化、非凸优化、运筹优化、大规模优化及其在人工智能、金融、通信等领域应用的研究上；其中大陆双一流高校和科学院系统生气勃勃的中青年学者占主要部分。 

与学术界和工业界合作研究是应用数学系的另一个特色。2019年，“中国科学院数学与系统科学研究院—香港理工大学应用数学联合实验室”成立，它的宗旨是：大力发展应用数学的算法基础研究，包括最优化计算方法、张量计算、多物理场计算等；推动统计学和金融数学的理论和应用研究；进一步发展大数据、人工智能等领域的研究。这两个中国最优化重镇，学术交流频繁，几周前，京城最优化界的一位后起之秀飞来联合实验室，报告了他的团队与陈小君团队的最新合作研究成果。

近些年来，应用数学系在矩阵优化、高维统计优化、非光滑分析等核心方向以及人工智能优化、复杂系统优化等新兴领域，理论成果迭出，实际应用宽广。例如，在无导数优化领域，张在坤团队提出的子空间无导数优化框架，将可解问题维数从几百提高到上万，相关算法荣获了 Computational Optimization and Applications 2019年最佳论文奖，填补了国内大规模无导数优化研究的一个空白。孙德锋团队研发的GPU适配型高效算法为国内人工智能大模型训练提供核心数学支撑；2025年最新提出的拉格朗日拓扑感知物理信息神经网络（LT-PINN），为边界聚焦型工程优化提供了统一高效的新框架。 

当然，工业界是应用数学真正的用兵场，尤其是在当今大数据时代极具应用潜力的最优化理论。这也是学术界获得实业界真正尊敬的必由之路，否则，仅靠“数文章”“数引用”而没有真刀真枪地在理论的实践中一展风采，是不容易树立“应用数学”的威望的。1963年，冯·卡门能荣获肯尼迪总统颁发的首届国家科学奖并且是唯一的获奖人（控制论之父维纳仅是第二届五位获奖者之一），就在于他是深入到骨髓的应用数学家，运用他所创造的空气动力学理论与方法，出色领导了美国的国防科技，尤其在围绕着应用力学的那些领域。

半年前，自2007年建立长期合作以来，香港理工应用数学系与华为技术有限公司正式成立了“香港理工大学—华为数学优化创新实验室”，这是华为在香港设立的首个研发基于“异构算力”先进优化求解器的联合实验室。它专注于推动数学优化理论研究、前沿优化算法开发，以及异构算力加速求解器在人工智能与数据科学中的应用。作为华为在最优化领域合作最紧密的高校团队之一，早在2019年，应用数学系的优化专家成功解决华为生产计划中的大规模优化难题，相关技术被应用于供应链物流优化，此项成果于2021年获华为香港研究中心及诺亚方舟实验室双重 “杰出合作者奖”。

前文所述的无导数优化软件开发成果，落地成效引人注目：COBYQA、PRIMA、PDFO等软件累计下载超25万次，COBYQA作为“Highlight of This Release”纳入SciPy1.14.0（每日数百万次下载），PRIMA和PDFO成为空客等研发的工业设计软件GEMSEO的优化引擎，应用于英特尔5G基站芯片设计、复旦大学高维模拟电路优化、法国IRT研究所飞机零部件设计等关键场景，其中NEWUOAs 算法为英特尔Atom P5900芯片设计提供百倍加速，被评价为“极大简化验证流程”。 

经济发展需要并带动应用数学的持续进步，同时也能保证支持基础数学的研究，达到相辅相成的效果。这既是上世纪直至现在的美国应用数学推动科技腾飞的宝贵经验，也是本世纪的中国诠释“数学乃强国之器”的现身说法。一滴水可以折射出太阳的光辉。香港理工大学的应用数学家集体，描画出全中国应用数学大发展的一个缩影，值得我们在马年的起跑线上欢呼：应用数学的春风已在神州大地刮起。让我们扬鞭策马，飞驰向前！ 

写于农历马年正月初五