由英国人牛顿(Issac Newton, 1643-1727)与德国人莱布尼茨(Gottfried Leibniz, 1646-1716)分别独立发明，微积分是人类文明史上最伟大的遗产。它诞生于十七世纪的下半叶，为四百年前近代科学的兴起提供了数学的语言。

 

伽利略(Galileo Galilei, 1564-1642)曾说过：“自然界的大书是以数学符号写出来的。”微积分在科学技术中有着广泛的用途。因此，《微积分》早已是大学里的一门基础课，对所有的理工科大学生也是必修课。但是，微积分的教法在中国和美国有诸多不同。

 

在这篇文章中，我们讨论如何学习微积分，希望能够抛砖引玉，激发国内各大学的数学老师对微积分教学的理念与方法作进一步的探索，以便引导广大的学生更有效地理解微积分的思想和理论。

 

撰文 | 熊斌  陈果良（华东师范大学数学科学学院）

          丁玖（南密西西比大学数学与自然科学学校）

          叶宁军（伊曼纽尔学院数学系）

 

微积分课程在中国大学的设置

 

中国的“等级文化”到处存在，一典型例子莫过于大学微积分课程的设置。

 

数学系的新生是所有理工科大学生中的“数学骄子”，一进校就学最最难的微积分，不过课程的名字改成《数学分析》。这个名字来自于苏联，因为中国高等教育从20世纪50年代起开始效仿苏联，包括课程的设计和教科书的名称。

 

不是数学系，就要分三六九等对号入座了。比如说物理、天文、气象这三个系，尽管招收的学生也“才气十足”，但跟数学系的学生一比，在学习微积分这件事上则沦为“二等公民”。不过，他们在非数学专业当中的待遇还是高人一等，修的是甲类《高等数学》，难度较高。课程的名字有些误导人，似乎教的是所有的高等数学。那怎么可能呢？其实，从这门课中所学到的“高等数学”，只是高等数学的一部分，相当于从大水缸里舀出的一杯水。

 

其它的几个理科系，比如生物、化学、地质、地理等，就是“三等公民”了，所用的微积分教材为乙等《高等数学》，难度大概相当于上世纪中国发行量最大的微积分教材、樊映川（1900-1967）先生所著的《高等数学讲义》。在20世纪80年代初，文革前考上南京大学化学系的温元凯被请回母校大礼堂做演讲，其中说到“化学系需要什么数学时才学什么数学”，刻画了数学专业以外的同学对待高等数学的一般态度。

 

在我们读大学的时代，哲学系可能是文科里仅有的要修微积分的系，修的是丙类《高等数学》。在牛顿的时代，科学的别名叫自然哲学。牛顿的划时代著作书名就是《自然哲学的数学原理》。由于这个历史的缘故，欧洲几百年来的博士学位大都称为哲学博士(Doctor of Philosophy，简写为Ph.D.)。因此自然科学与哲学密切相关。

 

其他的文科学生恐怕就没有哲学系那样的运气了。中文、历史、外文等专业的学生大概进入大学就可以与数学说拜拜了，更不要说微积分了。当然，经济系却另当别论。到处出现数学公式的数理经济或充斥统计术语的计量经济，微积分是逃不掉的。不过我们尚不知道他们学的《高等数学》到底是第几类，这可能与学校和系里的要求有关。

 

至于工程学科，微积分当然是大一新生的必修课，其所用的微积分教材难度大致与乙类《高等数学》相当。大部分工程系的高等数学课不会比物理系的难度大。人们普遍认为工程学科的学生不需要那么多的数学理论，时间应该多多用于钻研工程领域的专门知识。这一做法也是源于苏联的模式：集中培养专业人才。

 

微积分在美国大学的教法

 

在美国，微积分的教学分成初级阶段和高级阶段。在初级阶段，学生学初等微积分；在高级阶段，则学高等微积分。其实，即使在中国，一门学科分成初级、高级两步教的例子也很多。比如说，我们在中学就学物理和化学了，也就是初等物理和初等化学。到了大学，我们学的普通物理和普通化学，处理的基本对象与中学的大致一样，只不过用的数学工具从代数、几何、三角上升到微积分所代表的高等数学。

 

在美国大学生学习微积分的初级阶段，不管是什么专业，只要是理工科的必修课或是其它系的选修课，所用的教材英文名字都是一个单词：Calculus，其中文翻译应该用两个单词：初等微积分。即便是数学系的同学，也只能先修初等微积分，而不是修等价于中国数学系一年级新生必修的《数学分析》的《高等微积分》(英文书名一般是Advanced Calculus)。从初等微积分起步，是美国的微积分教学的基本特点。

 

当然，初等微积分也不是全美统一的教法。比如，普通大学商学院的初等微积分教材往往与众不同，常常冠以《商业微积分》(Business Calculus)的书名。它的内容甚至可能比一般的初等微积分还要浅，书也薄得多，一般只讲求函数导数、求定积分的基本方法。不过特点之一是侧重于应用，提供了许多与商业实践有关的章节和习题，让学生接触到具体实用的微积分应用范例。在美国，商学院是高中毕业生报考大学的热门之选。但一般而言，学科齐全的巨无霸型公立大学的学生求学态度与知识水准，普遍低于规模较小、班级不大的私立大学或学院。对于这样的商学院学生，通常会降低初等微积分的要求。即便是这样，不及格的学生比例有时会高得吓人。当然，像哈佛大学这种学校的商学院本科生，可能会到数学系去修研究生课。这就是美国的“因材施教”法。对大多数学生是“放羊式教育”，顺其自然。对天才学生，提供最好的教育机会与课程设置，让他们快速成长，很快冒尖。

 

其它特殊的初等微积分还包括用于生命科学的微积分 (Calculus for the Life Sciences) 和适合应用技术类学生的微积分 (Applied Technology Calculus)。这些教材带有相关专业的应用特点，概括起来是数学理论少，应用实例多。

 

即便是初等微积分，不同的教授的教学水平和教育理念也会教出不同的学生。作者之一所任教的私立人文学院的数学教授非常重视学生是否真懂概念，诸如导数所揭示的“瞬间变化率”，而不是一味地教死方法。有学生在一位教授的班上拿了一个B后，很不服气，因为此学生在高中时候修的“AP微积分课程”拿了A，而且一直是班上的数学“佼佼者”。而一个在教师甲班上不及格的学生，后来重修这门课后换了教师乙后居然能拿A，这也是在美国校园里常见的现象。

 

那么什么是初等微积分？这是不学“极限理论”或“ε - δ语言”的微积分。或更简单地说，它是牛顿和莱布尼茨所发明的微积分。它的内容等价于中国的《高等数学》，难度介乎于甲类和乙类之间，但比国内的教材包含了多得多的应用例子与习题。因为强调应用是美国数学教科书的一个特色。初等微积分包含了微积分的思想和计算方法，而不强调微积分的理论基础，即基于实数的完备性而逻辑推导出的极限理论。

 

在美国，《初等微积分》的课程一般修三个学期到四个学期。研修四学期的教学大纲中典型的内容分配是：第一学期学微分部分，第二学期是定积分，第三学期覆盖级数等，第四学期则讲多元微积分。这是面向全校的公共数学课。任何专业的学生，无论是必修选修，不管是大一还是大四，都可注册此课。没有学过微积分的部分研究生，只要愿意或系里要求，也可以注册修课。

 

正因为每个大学生都可去修初等微积分，一些兴趣广泛或者对自己的未来定位还没来得及深思熟虑的文科学生也修了它。其中的一部分甚至爱上了它，并因此改变人生了的航道。一个最有说服力的例子是威腾(Edward Witten, 1951-)。他的本科主修专业是历史学，辅修语言学。某天某日他注册了初等微积分这门课。大概他从这门课发觉了数学的美，后来改念物理，最终拿到物理的博士学位。他在现代纯粹数学上作出了巨大的贡献，甚至获得了数学界的最高奖——菲尔兹奖。

 

初等微积分学完以后，数学系的学生基本上已修了初等线性代数及初等微分方程。这时候，他们对微积分的概念比较清楚了，也对高等数学的其它学科有了一定的了解。《高等微积分》自然而然地放在了他们面前。对大多数高校，这是数学系大三或大四的必修课。但也有许多大学，数学系的研究生才开始修作为必修课的高等微积分。正是因为高年级大学生和研究生都有高等微积分的需求，很多学校的数学系干脆将这门两学期的课程标记为大学生课和研究生课。例如，在南密西西比大学，高等微积分两学期的课程号码是441/541和442/542，其中441与442表示是大学生的课程，而541及542说明是研究生的课。因此，经常可以看到大学生和研究生包括博士研究生同堂上课。

 

非数学系的大学生，高等微积分一般不是院系所要求的必修课。但是，选修总是可以的。而且，一部分有鸿鹄之志的理工科学生，从不局限于与自己专业有关的那些专门知识。其中有那么几个幸运儿，竟然通过高等微积分发掘出自己的天才和真正的爱好，跳槽到数学系。最好的一个例子当推控制论之父维纳(Norbert Wiener, 1894-1964)的得意弟子列文森(Norman Levinson, 1912-1975)。这个数学天才开始在麻省理工学院的电子工程系读本科。是维纳发现了他，引导他修完了数学系所有的课程。之后，他被送到剑桥大学，并在一年内写出两篇数学论文，回到母校，马上被授予数学博士学位。他后来成了麻省理工数学系发展壮大时期的灵魂人物，就“黎曼猜想”的问题做出了当时最好的工作。

 

哪种教法更好？

 

密歇根州立大学数学系的“大学杰出教授”李天岩在台湾的普及杂志《数学传播》上发表过一篇文章《回首来时路》，回忆了他在台湾新竹清华大学的本科时代。这是一篇声讨台湾式“数学教学法”的檄文。

 

 “没想到一进入大学，差点就被初等微积分里那些莫名其妙的ε – δ语言给逼疯了。” 李天岩在文章的第一段就如此写道。他说，那会儿室友都被ε – δ的抽象概念搞得睡不着觉，甚至还有同学因微积分太难而打草稿写遗书。

 

当然，上述引文中的“初等微积分”比当今的初等微积分难多了，至少嵌入了ε – δ的内容。它与大陆的《数学分析》等价。在李天岩读书的那个年代，台湾的数学教授们“好像都觉得能用愈深的教科书，学生自然就会变得‘高档次’吧！”

 

教学确实如此。李天岩教授回忆道：“看那！我在念大二的三高时，高等微积分用的是Apostol的数学分析；高等几何用的是Halmos的有限维向量空间；高等代数用的是N. Jacobson的抽象代数讲义；微分方程用的是Coddington的常微分方程导读。大三念近世代数时，用的是van der Waerden的现代代数；念复变函数论用的是Ahlfors的复分析。另外，大三还念了拓扑学、数论；大四念了泛函分析、李群、实变函数论（用的是Royden的实分析）、微分几何（用的是Hicks的微分几何讲义）。”

 

结果是，“这些课不但都修过，而且成绩都不错（大四修的课都在90分以上）”。高深的课程表及全优的成绩单把他后来的博士论文导师约克(James Yorke, 1941-)教授吓了一大跳，“以为我是那路杀来的高手，功力无比深厚”。

 

然而，李天岩教授回想起来，“那个档案里所记录的实在是有极大的误导性”。他进一步解释，“抽象数学的出发点多半起始于对实际问题所建立的数学模式，然后将解决问题的方式建立理论，再抽象化，希望能覆盖更一般性的同类问题。因此在学习较高深的抽象数学理论之前，多多少少要对最原始的出发点和工具有些基本的认识。”他认为，若是一开始就搞些莫名其妙的抽象定义，推些莫名其妙的抽象定理，学生根本无法知道到底是在干些什么，但为了考试过关，只好跟着背定义，背定理，背逻辑。

 

李天岩教授的感觉应该得到很多数学系学生的共鸣。拿南京大学数学系七七级招进的计算数学班来说，那年南大数学系和天文系的录取分并列全校各系之冠。应该说计算数学班七七级新生的智商和水准是相当高的了。但是，第一学期的《数学分析》就让部分同学泄气了。任凭他们晚上宿舍强制熄灯后潜入臭气难闻的厕所里偷光，或下楼到校园路灯的范围内借光，或在被窝里手执电筒借助幽灵之光，测验时逃脱不了不及格的悲惨命运。这是为什么呢？

 

一步到位的《数学分析》教学法，强调的是关于微积分理论的逻辑推理，而非微积分思想的直觉原理。后者是牛顿和莱布尼茨眼中的微积分运算，而前者是他们死后两百年间慢慢所形成的一套理论。在微积分的初创时期，实数的“完备性”还在虚无缥缈之中，甚至微积分所处理的最基本的对象函数概念还是一个迷。

 

欲速则不达。只有初等数学基础的学生，一下子要越过牛顿和莱布尼茨两百年，赶上柯西(Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857)和魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass, 1815-1897)耗费多年精心打造的极限语言，还要费劲全力地搞懂戴德金(Julius Dedekind, 1831-1916)或康托尔(Georg Cantor, 1845-1918)成功的实数构造过程。这种训练，对于当今高等学校的大众教育，实质上是超前灌输。它不符合科学发现的艺术和数学文化的要义。数学的发展始终遵循数学文化的一个要旨：数学定理的诞生，往往起始于直觉，而完成于逻辑。牛顿、莱布尼茨的微积分就是最好的例子。当微积分的思想愈来愈成熟后，逻辑推理的神奇就会尽显风流，导致作为微积分大厦基础的实数理论和极限理论应运而生。如果在充分理解微积分思想和基本方法之前，就被动地接受微积分的逻辑基础，结果就会像扬州大学数学科学学院的董琪翔老师所观察到的：“一年级学数学分析，大部分学不好，造成对今后学习信心不足。”

 

杰出数学家及数学教育家龚升(1930-2011)教授在其著作《微积分五讲》之第一讲“回顾中学数学”中，首先引用了希尔伯特(David Hilbert, 1862-1943) 在1900年国际数学家大会上所讲的一段话：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着。这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。”他然后指出：“回顾一下我们从小开始学习数学的过程，就是在重复这个数学发展的过程。一些数学虽然后来被更有力的工具和更简单的方法所产生的新的数学所替代了，但在人们一生所学数学的过程中，却不能只学习‘高级’的，而完全不学习‘低级’的，完全省略掉学习‘低级’的过程。这是因为随着人们年龄的不断增长，学习与他的年龄与智力发育相当的数学才是最佳选择，学习数学是一个循序渐进的过程，没有‘低级’的数学打好基础，很难理解与学习好‘高级’的数学。”

 

正因为“学习‘高档次’的数学理论，绝对必须从对‘低档次’数学的理解出发”，今天的密歇根州立大学数学系，“根本禁止在一、二年级初等微积分的课程里灌输学生这些 ε – δ 的抽象概念”。学生进入高年级甚至研究生阶段，才会和高等微积分相知相识，从容不迫地进入了分析数学的新天地。

 

如果我们再仔细检视微积分的教材，就会发现：微积分的思想概念处处出现在初等微积分中，而微积分的逻辑推理则处处出现在高等微积分中。对于初学者而言，先学会思想远比推导定理来得重要。先学了基于直觉的初等微积分，基于逻辑的高等微积分就不太那么令人生畏了。这对数学系学生的好处是：思想先行于逻辑，推理让位于直觉，慢慢走向严格化。对其它系学生的好处是：第一步雪里送炭，第二步锦上添花，领悟数学之美与深刻。

 

结 语  

 

微积分是大学生最重要的一门数学课。由于数学发现的过程是直观性导致抽象性，在教学的实践中，微积分思想的传播比逻辑推理更重要。遵循“理解高档次数学前应该通晓低档次数学”这一原则，在大学数学系及全校公共课的设置上，初等微积分理应成为高等微积分之序曲。

 

因此，我们有如下的建议。大学新生不分专业，先学初等微积分。如果学生在高中阶段已经修了初等微积分并且成绩优良，可以继续修下去或直接进入高等微积分。数学系的学生在修完初等微积分后，应该接着修高等微积分。其它系的学生可以选修高等微积分。最后，初等微积分应成为全校所有专业的必修课或选修课。

 

1976年4月30日，身体虚弱的毛泽东给刚刚担任国务院总理的华国锋写道：“慢慢来，不要着急”。这句话可以借用来结束本文——中国大学数学系的微积分课程的教学，也应该“慢慢来，不要着急”：先学初等微积分，再学高等微积分。 

 

定稿于2018年12月3日