库尔特·哥德尔（1906-1978）的理论为计算机科学和人工智能的发展奠定了基础。图为哥德尔在普林斯顿高能研究院的数学-自然科学图书馆 | 图源：ias.edu

导  读

哥德尔被爱因斯坦称为亚里士多德之后最伟大的逻辑学家。他提出的哥德尔不完备性定理，堪称数学逻辑理论中最伟大的发现，撼动了当时被大数学家希尔伯特认为完美的数学王国。

哥德尔1906年4月28日出生于当时隶属于奥匈帝国的布尔诺，1923年进入维也纳大学，原本要学习物理，在参加过几次数论的讲座后转向数学，并参加了以哲学家为主、专注于讨论语言和意义及逻辑关系的维也纳小组。1930年，24岁的哥德尔获博士学位，后在维也纳大学工作。

因欧洲战乱，身为犹太人的哥德尔的国籍几经变换，先是奥匈帝国，后是捷克斯洛伐克，然后为奥地利，当奥地利被纳粹德国吞并后，他成为了德国人。二战前，因担心被德国军队征兵，他逃离了欧洲，1940年辗转来到美国，并在普林斯顿的高能研究院工作。1946年，哥德尔获得高能研究院终身教职。晚年时，哥德尔罹患迫害妄想症，拒绝进食，1971年因营养不良和身体机能衰竭离世。

作为计算机学家，张峥欣赏哥德尔在数学和逻辑学上的成就和独特趣味，也在思考人才为何聚集到美国。如何让学者同时安放自己的心灵和书桌，这是一个值得探究的问题。

撰文 | 张峥

责编 | 陈晓雪

“纸牌反面那句话是对的”和“纸牌反面那句话是错的”这两句话单独拎出来看，互相矛盾，显然不可能同时为真，只有一句话是对的。如果把它们写到纸牌的两面，会发现无论假设哪句正确都不行，都会陷入自我矛盾的拧巴中去。这个死循环，就是大家都熟悉的“纸牌悖论”。这个小游戏，可以在喝酒聊天的时候拿来欺负你的小伙伴。

在精致的数学系统中，这样的悖论被认为没有容身之地。20世纪初，大数学家希尔伯特指出，数学象牙塔是“完备而且自洽”的。也就是说数学系统中的所有结果，都是可以从一堆不会互相矛盾的公理中严格推导出来的；数学是个纯粹而干净的平行宇宙，可以无限生长，一砖一瓦地堆砌，而且所有的部件都是稳定、坚固、环环相套，没有漏洞。

希尔伯特的这个猜想如果正确，那数学家要做的就是补足公理，其他的都是机械操作，数学王国必将独立而完整。

纵观数学界积累下来的巨大成绩，希尔伯特乐观地认为这个猜想不会有错，也号召数学家们行动起来，向这个方向努力。当时的希尔伯特如日中天，影响力巨大，整个数学界沉浸在乐观的情绪中，朝他指明的方向前进。

1929年年底，23岁的哥德尔（Kurt Friedrich Gödel，1906-1978）完成了一阶逻辑上的证明，向目标推进了一步，他的贡献超过了其他同行的总和。凭着区区两页纸的证明，哥德尔于第二年初取得了维也纳大学的博士学位。

图1在维也纳大学的哥德尔 | 图源：Kurt Gödel Papers, the Shelby White and Leon Levy Achives Center，普林斯顿高等研究院

哥德尔在证明更复杂的二阶逻辑时向朋友们承认他 “碰到了麻烦” 。没有谁会想到，解决这个麻烦的后果是造成了更大的麻烦：半年后，他证明了希尔伯特猜想不成立——无法同时保证数学系统的自洽性和完备性。

这个结果动摇了数学王国的根基。 这个被称为 “不完备性定理” 的证明大致分成两大步骤，用了几乎是魔术师般神奇的手段。

首先，哥德尔做了个磁纸牌，可以把任何数学公式，包括数学定理的证明，通过一串基于素数的操作变成一个独一无二的 “哥德尔数”，“吸” 到纸牌上。这个哥德尔数也可以拿下来，完美无损地恢复原来的公式。接着，他构造了一个自我矛盾的数学定理（“哥德尔数为g的表达式是不可证明的”），粘到了纸牌上，而这就像我们无法判断“这句话是假的”的真伪一样。

这个大麻烦在于，宣告了在数学系统中永远存在可能为真的命题，却无法用数学自己来证明（更严格地说，是在整数系统中用有限步证明）。

数学是一种形式化的语言，人的思考依赖非形式化的语言，那语言本身又如何自证清白呢？“开口就是错” 并不耸人听闻。从这点上来看，哥德尔和同时代的哲学巨人维特根斯坦的理论也互相印证。也许我们会想象两个天才惺惺相惜、互相唱和，可惜不是，但原因却又颇复杂，耐人琢磨，并不因为是既生瑜何生亮，个中原因，就留着读者自己去发现吧。

哥德尔不完备性定理的影响，远远超出了数学本身。在计算机领域，有一个对应的经典问题叫作 “停机问题”：在有限的时间内能否判断一个任意的程序结束运行或者死循环。证明这个定理的是另一个巨人，他的名字叫图灵，使用的证明框架类似，也是自我指涉带来的悖论。而大家熟知的卡尔·波普关于划分科学与非科学理论的可证伪性原则，也有不完备性定理的影子。

提到停机问题，我想象有的读者会下意识地去摸下电脑，看是不是有些滚烫。事实上，目前程序死循环的原因，全是因为码农的不仔细，因为有足够的保守编程手段来做保证。哥德尔不完备性定理，还没有影响到诸多为真且可证的数学定理在实操中的运用。

事实上，在实操中 “无所作为” 的不完备性定理，同海森堡的不确定性原理和爱因斯坦的广义相对论一起，被人戏称为 “知识滥用的源泉” ，催生了无数并不靠谱的想象力。

那么，为什么我们要去了解哥德尔？

作为第二代复旦人，我一直以为 “自由而无用的灵魂” 这句话说得口齿不清。知道了不知道，才能划清学问的边界，而只有知道了边界，才能继续推远边界，而这正是哥德尔身后一直在发生的事。因此，这种无用是非常深刻的有用。

哥德尔清楚地知道，他被世人所知的都是一些否定的结论——哥德尔的其他重大贡献在他去世之后才被陆续重新发现。而且，可能为真却无法证明的数学定理的存在，也意味着我们也许永远无法窥视到启动这个世界的神秘之手。世俗的我们不会为这个费神，但哥德尔会。这种阴影一直伴随着哥德尔，也可以理解成他后来罹患精神疾病的部分原因。我个人认为，即便证书系统和其中的定理早就摆在那，去发现它们的工程中发明的新手段，比如哥德尔在证明中使用的哥德尔数，却是实实在在的新知识，也是人类文明活动璀璨的新结果。

当年的维也纳学术圈，对爱思考的人来说，真是个令人神往的天堂，影响二十世纪的很多思潮和流派都发端于这些小圈子中。天才如歌德尔，也需要其他天才的伴随。哥德尔和他的朋友们，经常浸泡在备好了黑板的咖啡馆中讨论问题。我不知道咖啡馆如此之多的上海有哪一家准备了黑板。

但在当时，奥匈帝国正在迅速滑向地狱，学术讨论的天堂顷刻悬浮在地狱之门的边缘。被强烈的民族主义裹挟的亲德青年，反犹活动愈演愈烈，并最终把火烧向象牙塔尖。为希特勒背书的不乏诺奖获得者，学者之间也借机公报私仇、互相讨伐。这一幕，熟悉中国现代史的读者自然不会陌生。

这就抛出了一个尖锐的问题：在公共危机中，如果知识分子不能安放自己的心灵，又如何安放自己的书桌？

我认为没有理由对知识分子持有更高的道德期待。也许事实正相反，聪明人更有能力说服自己投靠黑暗。把武艺和武德混为一谈，认为流氓不会武功，英雄德艺双全，是世人美好的幻想。压力之下，嘴脸才显。

随着战争的脚步逼近维也纳，一个相当广阔的光谱呈现在眼前。这也是这本传记花重墨之处：你是谁，等同于你在广谱的哪一边。

哥德尔的密友和恩师中，不乏 “左派” 反战人士，不少还因此锒铛入狱。哥德尔自己相对出世，有些若即若离，但本质上也是个坚定的和平主义者。即便如此，他也曾被更坚定的好友抛弃过，令他痛苦不堪。我认为，面对极权的暴力和身边的不公正，不参与作恶是外在的作为，并不是衡量良心的唯一的标准。更重要的是，当你独面自己的软弱与怯懦，你看见了什么——你会心生惭愧，还是心安理得？

离开故土，是因为安不下心灵，也可能是因为安不下书桌，也可能两者兼有。无论是谁，对故乡的眷恋无可替代，哥德尔和他的朋友们也是这样。本书另一个重要的看点，人才是如何成功地聚合到美国的，这是对当今中国至关重要的一个话题。哥德尔投奔普林斯顿研究院的前前后后，为这一问题提供了一个绝好案例。为什么这么说？留待读者自己去发现了。我只能说，经常看到的“东方的麻省理工学院 / 斯坦福 / 加州理工”等宏伟愿景，如果只是简单的拷贝，而不去了解当时的历史肌肤，那注定是太天真。我们除了准备好的书桌，还必须准备心灵的安放之处。

关于科学家的传记是我阅读的最爱之一，一本好的传记可以读出厚重的时代感，重现这个群体的血肉。刚刚去世的戴维·麦卡洛 （David McCullough）撰写的《莱特兄弟》，埃里克·拉森（Erik Larson）关于无线电发明人马可尼的传记，还有沃尔特·艾萨克森（Walter Isaacson）的《富兰克林传》，都让我受益匪浅。能读到这本哥德尔传，是我的好运气。满分推荐。2022年8月14日，于上海。 

作者简介

张峥，原上海纽约大学计算机教授，亚马逊云计算上海AI研究院院长。