现代数究有两大范畴，即纯粹数学和应用数学。现在我们来谈谈数学向人类文明的其他结晶（科学）的渗透。先来看物理学，18世纪是数学与经典力学相结合的黄金时代，19世纪数学主要应用于电磁学，产生了剑桥数学物理学派，其最具代表性的成就是麦克斯韦（1831-1879）创立的电磁学方程组，由4个简洁的偏微分方程组成。据说麦克斯韦最初得到的方程组比较复杂，后来他相信表达物理世界的数学应该是美的，因而推倒重来。

麦克斯韦是苏格兰人，这个流行男子穿格子短裙的民族所贡献出的伟大发明家按人口比例堪称世界之最。在麦克斯韦之前有（实用）蒸汽机发明人瓦特(1736-1819)，之后有电话发明人贝尔(1847-1922)、胰岛素发明人麦克里奥德(1876-1935，与人合作)、青霉素发明人弗莱明（1881-1955）、电视发明人贝尔德（1888-1946）。此外，还有第一个将经济理论完整化和系统化的亚当·斯密（1723-1790），他的代表作《国富论》的中心思想是：看似混乱的自由市场实际上是一种自我调控机制，它能自动倾向于以最合适的数量生产那些社会上最受欢迎和最需要的产品。

进入20世纪以后，数学相继在相对论、量子力学以及基本粒子等理论物理学领域得到应用。1908年，德国数学家闵可夫斯基提出了空间和时间的四维时空结构，即通过（c 为光速）

“超弦理论”或“弦理论”兴起于上个世纪80年代，它把基本粒子看成是一些伸展的一维弦线般无质量的实体（其长度约为厘米，称为普朗克长度），以代替其他理论中所用的在时空中无尺寸的点。这个理论以引力理论、量子力学和粒子相互作用的统一数学描述为目标，正成为数学家与物理学家携手合作的一个最活跃的领域，其中所用到的数学已涉及微分拓扑、代数几何、微分几何、群论、无穷维代数、复分析和黎曼曲面上的模理论等。可以想象，与它相联系的物理学家和数学家不计其数。

生物学和经济学

除了物理学以外，数学还在其他自然科学和社会科学领域发挥了重要作用。限于篇幅，我们仅以生物数学和数理经济学为例。与物理学相比，生物学是一门年轻的学科，在17世纪显微镜发明以后才真正步入轨道，但它和物理学是自然科学最重要的两个分支。生物学研究中数学方法的引进也相对迟缓，大约开始于20世纪初，多才多艺的英国数学家皮尔逊（1857-1936）首先将统计学应用于遗传和进化问题，并于1901年创办了《生物测量》杂志，这是最早的生物数学杂志。

1926年，意大利数学家沃尔泰拉提出了下列微分方程：

成功地解释了地中海中不同鱼种周期消长的现象，其中x表示被食小鱼数，y表示食肉大鱼数。这个方程组也被称为沃尔泰拉方程，它开启了用微分方程建立生物模型的先例。

上个世纪50年代，在英国和美国出现了两项轰动性的成果，即描述神经脉冲传导的数学模型霍奇金-赫胥黎方程（此赫胥黎为达尔文进化论支持者赫胥黎之孙、小说家赫胥黎之弟）和视觉系统侧抑制作用的哈特莱因-拉特里夫方程，它们都是复杂的非线性方程，引起了数学家和生物学家的兴趣。有意思的是，前三位因此分别获得1963年和1967年度诺贝尔生理和医学奖，而拉特里夫只是因为这个方程和作为哈特莱因的前同事被人们记住。

1953年，即霍奇金-赫胥黎方程诞生的第二年，美国生物化学家沃森和英国物理学家克里克，发现了脱氧核糖核酸（DNA）的双螺旋结构，这不仅标志着分子生物学的诞生，也把抽象的拓扑学引入了生物学。因为在电子显微镜下可以看到，双螺旋链有缠绕和纽结，这样一来代数拓扑学在扭结理论中便有了用武之地，并应验了一个多世纪前高斯的预言。1984年，新西兰出生的美国数学家琼斯（1952-2020）建立了关于纽结的不变量——琼斯多项式，帮助生物学家对DNA结构中观察到的纽结进行分类，琼斯本人也获得了1990年的菲尔兹奖。

脱氧核糖核酸（DNA）的双螺旋结构 （图源：维基百科）

沃森和克里克获得了1962年度诺贝尔生理和医学奖，但他们发现的意义还没有被充分认识，这里我想多说几句。先用物理学来作参照，它主要探讨宏观的世界（原子内部结构的重要性也在于核聚变和裂变的巨大能量），而生物学则侧重研究微观的事物（细胞和基因）。达尔文的进化论和伽利略的自由落体运动定律一样，主要表现了生命和物体运动的外在规律，而牛顿的万有引力定律则发现了物体乃至宇宙运动的内在规律和原因，与此相对应的生物学成就正是揭示了生命奥秘的DNA双螺旋结构。值得一提的是，沃森和克里克是在他们平日和同事们常去的剑桥老鹰酒吧宣布这一里程碑式的发现。

1979年度诺贝尔生理和医学奖由两位非本行专家分享，即南非出生的美国物理学家科马克（1924-1998）和英国电器工程师豪斯菲尔德（1919-2004）。还在开普顿的一家医院放射科兼职时，身为物理学讲师的科克马就对人体软组织和不同密度组织层的X射线成像问题感兴趣，到美国后任教后，他建立起了计算机化扫描的数学基础，即人体不同组织X射线吸收量的计算公式。这个公式建立在积分几何的基础之上，解决了计算机断层扫描的理论问题。这项工作促使豪斯菲尔德发明了第一台计算机X射线断层扫描仪即CT扫描仪，并在临床实验中获得成功。

下面我们要谈的是数理经济学，这门学科是由匈牙利数学家冯·诺伊曼开启的，他与人合著的《博弈论与经济行为》（1944）提出竞争的数学模型并应用于经济问题，成为数理经济学的开端。整整半个世纪以后，美国数学纳什（1928-2015）和德国经济学家泽尔藤（1930-2016）还因为博弈论（即对策论）的成就获得诺贝尔经济学奖，纳什患有精神病，是被改编成电影的小说《美丽心灵》的主人公，他建立了以纳什解或纳什平衡著称的理论，试图解释竞争者之间的威胁和行动的动力学。而纳什因为非线性偏微分方程所作的贡献获得数学界的至高荣誉——阿贝尔奖，则是在他生命的最后一年。

如果说前苏联数学家康托洛维奇（1912-1986）的线形规划论和荷兰出生的美国经济学家库普斯曼（1910-2004）的生产函数所用的数学理论还比较简单的话（他们因为在资源最佳配置理论方面的贡献获得1975年度诺贝尔经济学奖），那么法国出生的美国经济学家德布洛（1921-2004）和另一位美国经济学家阿罗（1921-）所用的凸集和不动点理论就较为深刻了，他们建立的均衡价格理论的后续研究动用了微分拓扑、代数拓扑、动力系统和大范围分析等抽象的数学工具。有意思的是，阿罗和德布洛获得诺贝尔经济学奖却相隔了多年（分别是在1972年和1983年）。

上个世纪70年代以来，随着随机分析进入经济学领域，尤其美国经济学家布莱克和加拿大出生的美国经济学家斯科尔斯将期权的股票定价问题归结为一个随机微分方程的解，并导出与实际相当吻合的期权定价公式，即布莱克-斯科尔斯公式。在此以前，投资者无法精确地确定未来期权的价值，这个公式已把风险溢价作为因素计入股票的价格之中，从而降低了投资期权的复杂性风险。后来美国经济学家默顿（1944-）消除了许多限制，使得该公式适用于金融交易的其他领域，如住宅抵押。1997年，默顿和斯科尔斯（1941-）分享了诺贝尔经济学奖。

可是，进入21世纪以来，美国发生了次贷金融危机，严重影响了世界经济的发展。在正常情况下，客户一般向银行申请贷款。可是，一部分客户由于信用条件差或其他原因，银行不愿意与他们签署贷款协议。于是，就有贷款机构发放信用要求宽松但利率更高的贷款。次级贷款蕴涵较大的违约风险，主要原因在于基于其上的衍生产品。有关部门不愿意独自承担风险，往往要打包出售给投资银行，甚至保险或对冲机构。这些衍生品看不见摸不着，其价格以及打包方式无法通过人为的简单判断而估定，这就需要并助长了一门新兴的数学分支——金融数学。

图源：Pixabay

在衍生产品的定价过程中，有两个非常重要的参数，即折现率和违约概率，前者基于某个随机微分方程，后者是密度的泊松分布。通过这次世界性的金融危机，人们发现这两种数学手段以及其他估计和定价手段还需要更精准的方法。20世纪90年代，同年（1947）出生的中国数学家彭实戈和法国数学家巴赫杜合作创立了倒向随机微分方程，现已成为研究金融产品定价的重要工具。18世纪初，雅各布·贝努利曾说过：从事物理学研究而不懂数学的人实际上处理的是意义不大的东西。到了21世纪，金融业或银行业也出现了这种情况，有着两百年历史的美国花旗银行宣称，他们70%的业务依赖于数学，同时强调，没有数学花旗就不可能生存。

最后，值得一提的是，康托洛维奇的线形规划论是运筹学最早成熟的研究内容和分支之一。运筹学可以定义为，管理系统的人为了获得关于系统运行的最优解而必须使用的一种科学方法，主要依赖于数学方法和逻辑判断。与运筹学几乎同时脱胎于第二次世界大战的应用数学学科还有控制论和信息论，其创始人分别是美国数学家维纳（1894-1964）和香农（1916-2001），两人退休前都在麻省理工学院任教，且都是公众人物。维纳18岁获得哈佛大学博士学位，出版过两本自传《昔日神童》和《我是一个数学家》，香农则被誉为数字通信时代的奠基人。

在维纳看来，控制论是一门研究机器、生命社会中控制和通讯的一般规律的科学，是研究动态系统在变的环境条件下如何保持平衡或稳定状态的科学。他创造了cybernetics 这个词，希腊文里的原意为“操舵术”，就是掌舵的方法和技术的意思。在柏拉图的著作中，常用它来表示管理人的艺术。而信息（information）论是一门用数理统计方法来研究信息的度量、传递和变换规律的科学。需要注意的是，这里的信息不是传统的消息，而是一种秩序的等级，或非随机性的程度，可以测量或用数学方法处理，就像质量、能量或其他物理量一样。

计算机和混沌理论

一般来说，计算机是指能接受数据、按照程序指令进行运算并提供运算结果的自动电子机器。计算机的历史上，起重要革新作用的几何全是数学家。直到上个世纪70年代末，中国大学里的电子计算机专业还大多设在数学系，就像康德时代数学仍隶属于哲学系一样。可是如今，多数大学都有了一两个计算机学院。用机器来代替人工计算，一直是人类的梦想。或许最早使用算盘的并非中国人，但长期以来使用最广泛的首推中国的算盘。在明代（1371）出版的一本书里，就有十档算盘的插图，但实际发明远在此以前。数学家程大位（1533-1606）的《算法统宗》（1592）详述了珠算的制度和方法，标志着珠算的成熟，这本书也流传到朝鲜和日本，使得算盘在这两个国家十分盛行。

第一个提出机械式计算机设计思想的是德国人席卡德（1592-1635），他在与开普勒通信时阐述了这一想法。第一台能进行加减计算的机械计算机是由帕斯卡尔发明(1642)，30年后莱布尼茨制造出了一台能进行乘除和开方运算的计算机。使四则运算机能带程序控制的功能，是向现代计算机过渡的关键一步，由英国数学家巴比奇（1792-1871）首先迈出，在数论里有一个与二项式系数有关的同余式用他的名字命名。巴比奇设计的“分析机”（1834）分为加工部和储存部，外加一个专门控制运算程序的机构，他曾设想根据穿孔卡片上的指令进行各种算术运算的可能性，这无疑是现代电子计算机的雏形。

遗憾的是，即便巴比奇付出后半生主要精力和财产，甚至失去剑桥大学的卢卡斯教授职位，也没几个人能理解他的思想。据说真正支持他的人只有三个：他的儿子——巴比奇少将（在父亲身后还为分析机奋斗了许多年）、未来的意大利总理和诗人拜伦（1788-1824）的女儿阿达。阿达（1815-1852）是拜伦和妻子的独生女，她为某些函数编制了计算程序，可谓开现代程序设计的先河。由于时代的局限性，巴比奇分析机的设计方案在技术实施上遇到了巨大的障碍，他借助通用程序控制数字计算机的天才设想，还需要过一个多世纪才能实现。

进入20世纪以来，科学技术的迅猛发展，带来了堆积如山的数据问题，尤其是在二战期间，军事上的计算需要，更使计算速度的改进成为燃眉之急。起初，人们采用电器原件来代替机械齿轮，1944年，美国哈佛大学的数学家艾肯（1900-1973）在IMB公司的支持下设计制造出了世界上第一台能实际操作的通用程序计算机（占地170平方米），那次他只是部分采用了继电器，不久他制成了一台全部用继电器的计算机。与此同时，在宾夕法尼亚大学，人们用电子管来代替继电器，第二年便造出了第一台通用程序控制电子计算机（ENIAC），效率快了1000倍。

ENIAC一个部分的背面细节 （图源：Pixabay）

1947年，数学家冯·诺伊曼（1903-1957）设计了把ENIAC中使用的外部程序改为存贮程序概念的想法，按照这种想法制成的计算机能按存贮的指令进行操作，改变这种指令就可以修改自身的程序。在此之前一年，他与人合作发表论文，提出了并行处理和存贮程序计算机的综合设计，对后来的数字计算机设计产生了深远影响。冯·诺伊曼出生在布达佩斯，属于多才多艺的那一类学者，在数学、物理学、经济学、气象学、爆炸理论和计算机领域都取得了卓越的成就。据说他是在火车站候车时遇见ENIAC的设计师，后者向他讨教计算机的技术问题，才引起了他的兴趣。

另一位对计算机设计理念有杰出贡献的是英国数学家图灵（1912-1954），他为了解决数理逻辑中的基本理论问题——相容性以及数学问题机械可解性或可计算性的判别，而提出了他的理想计算机理论。直到今天，数字计算机都没有跳出这个理想的模型：输入/ 输出装置（带子和读写头）、存储器和中央处理器（控制机构）。

图灵还研究过可以造出能思维的计算机的理论，这方面的构想已成为人工智能研究的基础。他还提出了会思考的机器的标准，即有超过30%的测试者不能确定被测试者是人还是机器，被称为“图灵测试”。遗憾的是，图灵后来因为不堪忍受对其性取向的强迫治疗，食用了氰化物溶液浸泡过的苹果而自杀。为了纪念图灵，1966年，英特尔公司出资设立了“图灵奖”，这是计算机领域的最高奖项。1976年创建的苹果电脑公司则以一只咬了一口的苹果作为徽标，这家以推出iPhone手机和iPad平板电脑风靡全球的公司的信念是，只有不完美才促使进步追求完美。2019年，图灵头像出现在50英镑纸币上。

图灵铜像，作者摄于曼彻斯特

值得一提的是，图灵受他在剑桥读书时的老师、剑桥数学学派的创立者哈代（G. H, Hardy,1877-1947）的影响，也痴迷于黎曼猜想。与哈代证明实部为二分之一的直线上存在无穷多个非平凡零点的结果相反，图灵一直致力于寻找反例，即在这条直线以外的非平凡零点，可惜没有成功。否则的话，即便图灵因为同性恋受到种种非难，相信他也会有勇气活下去。

虽然数字计算机已历经四代，从电子管、晶体管到集成电路、超大规模集成电路，均是采用二进制开关。这一点不会改变，即使将来有一天，电子计算机被取代（比如量子计算机）。这自然与19世纪英国数学家布尔所创立的布尔代数的符号逻辑体系分不开，他完成了两个世纪前莱布尼茨未竞的事业，即创立了一套表意符号，每一个符号代表一个简单的概念，再通过符号的组合来表达复杂的思想。布尔出身贫寒，父亲是个补鞋匠，他主要通过自学成材，后来做上爱尔兰科克女王学院的数学教授，并入选英国皇家学会。不幸的是，布尔49岁那年因淋雨患肺炎去世。当年早些时候，他的小女儿出世，她便是小说《牛虻》的作者伏尼契（1864-1960）。

作为抽象数学应用的一个光辉典范，计算机也已成为数学研究本身的有力工具和问题源泉，并导致了一门新的数学门类——计算数学的诞生。它不仅设计、改进各种数值计算方法，同时还研究与这些计算有关的误差分析、收敛性和稳定性等问题。冯·诺伊曼也是这门学科的奠基人，不仅与人合作创立了全新的数值计算法——蒙托卡诺方法，还领导一个小组利用ENIAC首次实现了数值天气预报，后者的中心问题是求解有关的流体力学方程。值得一提的是，20世纪60年代，中国数学家冯康（1920-1993）独立于西方创建了一种数值分析方法——有限元法，可用于有关航空、电磁场和桥梁设计等在内的工程计算。

1976年秋天，伊利诺伊大学的两位数学家阿佩尔（1932-）和哈肯（1928-）借助于电子计算机，证明了已有一百多年历史的地图四色定理，这是利用计算机解决重大数学问题的最鼓舞人心的范例。说起地图四色定理，这是难得由英国人提出的著名猜想，1852年，刚刚在伦敦大学获得双学士学位的古德里（1831-1899）来到一家科研单位做地图着色工作，发现可以用四种颜色即可填满地图并使得任何两个邻国拥有不同颜色。但是，不仅他和仍然在读的弟弟无法证明，连他的老师德·摩尔根和哈密尔顿也无能为力，于是，凯利在研究一番后在伦敦数学学会作了一个报告，才使得这个问题出了名。

从那以后，数学家们更多地借助计算机研究纯粹数学，这方面突出的例子是孤立子（soliton）和混沌（chaos）的发现，它们是非线性科学的核心问题，可谓是两朵美丽的“数学物理之花”。孤立子的历史比四色定理出现得还早，1834年，英国工程师拉塞尔（1808-1882）在马背上跟踪观察运河中船只突然停止激起的水波，发现它们在行进中形状和速度没有明显的改变，称之为“孤立波”。一个多世纪以后，数学家们又发现，两个孤立波碰撞后仍是孤立波，因此被称为“孤立子”。孤立子在光纤通信、木星红斑活动、神经脉冲传导等领域大量存在，而混沌理论则是描述自然界不规则现象的有力工具，被认为是继相对论和量子力学以后，现代物理学的又一次革命。

计算机科学的飞速发展，不仅离不开数理逻辑，也促成了与之相关的其他数学分支的变革或产生，前者的一个例子是组合学，后者的一个典型是模糊数学。组合学的起源可以追溯到中国古代传说中的洛书图，莱布尼茨在《论组合的艺术》中率先提出了“组合”这个名词，后来数学家从游戏中归纳出一些新问题，如哥尼斯堡7桥（滋生出图论这一组合数学主要分支）、36名军官、柯克曼女生和哈密尔顿环球旅行等问题。20世纪下半叶以来，在计算机系统设计和信息存储、恢复中遇到的问题，则为组合学研究注人了全新的强大的动力。

相比组合学的古老，1965年诞生的模糊（fuzzy）数学可以说是新生的。按照经典集合的概念，每一个集合必须由确定的元素构成，元素对于集合的隶属关系是明确的，这一性质可以用特征函数来表示，

2017年，柯洁激战“阿尔法狗”，图源维基

一颗砂里看出一个世界

一朵野花里有一个天堂。

曼德勃罗考虑了一个简单的函数，这里x是复变量，c是复参数。从某个初始值开始令，产生了点集 。1980年，曼德勃罗发现，对于有些参数值c，迭代会在复平面的某几点之间循环反复；而对于另外一些参数值c，迭代结果将毫无规则可言。前一种参数值c叫吸引子，后一种现象就叫混沌，所有吸引子的复平面子集如今被命名为曼德勃罗集。