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不朽的18个月 · “让牛顿去吧!”

►艾萨克· 牛顿爵士,英国皇家学会会长,英国著名的物理学家,百科全书式的全才。在力学、光学、数学、经济学等领域都有杰出的成果。著有《自然哲学之数学原理》《光学》。他在1687年发表的论文《自然定律》里对万有引力和三大运动定律进行了描述,这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点,并成为了现代工程学的基础。 
 
在牛顿的一生中,最神秘因而也最令人感兴趣的是从1665年7月到1666年年底的18个月。在这18个月里,他在好几个领域里都作出了划时代的发现,这些发现构成了他后来半个多世纪全部智力活动的核心。
 
人们熟知的故事是1665年春天,伦敦地区爆发了一场惨绝人寰的鼠疫:老鼠把一种病菌传播给人,使人患一种名叫淋巴腺鼠疫的怪病。人一经染上这种病,就上吐下泻,高烧不止,不出十天必死无疑。在不到三个月的时间里,伦敦地区的人口一下子就减少了十分之一。剑桥大学当局为防患于未然,宣布大学关闭,全体师生都遣散回家。正进行紧张思考研究的牛顿被迫离开学校回到伍尔索普庄园。
 
事情还是得回溯到那场对牛顿十分关键的奖学金考试。
 
巴罗的点拨使牛顿懂得了两个重要的东西。一是他必须掌握像《几何原本》那样精密、严谨的理论体系,否则他的学识再渊博再丰富也是支离破碎、残缺不全的;再就是,他必须学会用专门的理论技巧和数学方法,来充分表达自己对自然的认识和研究。聪明的牛顿一旦领悟到这两点,立即就埋头钻研《几何原本》。他还仔细研究了当时几位数学大师的新著,包括瓦里斯(John Wallis,1616-1703)的《无穷算术》,他又再次研究了笛卡儿的《几何学》。在当时人看来,这些都是最高深的数学著作,很难读懂。可是牛顿只用一年左右的时间就不但完全理解了作者的思想,还在他们的书中发现了大量错误,同时记下了大量笔记。特别令人吃惊的是,牛顿简直像是在与作者赛跑一样,一边读书,一边不断超越作者,一项接着一项地作出伟大发现。
 
1665年年初,牛顿首先发现了二项式定理。他阅读瓦里斯《无穷算术》时,受到求曲线包围面积计算方法的启发,把瓦里斯的整数幂有限项级数计算推广到分数幂无穷级数。他发现,新的无穷级数用于求解面积问题十分方便,就进一步用无穷级数求开方和作除法。在这个过程中,他成功地总结出二项展开式中变量的指数变化规律和每一项系数的变化规律,得到后来以他的名字命名的牛顿二项式定理。更为重要的是,他从这一发现中懂得了,把一个理论从特殊推广到一般的强大思维力量。后来,他的最重要的理论研究,都成功地由个别推广到普遍,最终形成庞大的思想体系,并在其不朽名著《自然哲学之数学原理》中得到完美体现。
 
紧接着,他进一步发展了无穷级数的应用,这既可以看作是对二项式研究的推广,也可以看作是对一些特殊函数研究的推广。在这项研究中,牛顿把几何学研究中一些十分困难的问题(如求曲线包围的面积)转化成代数计算。其中有特殊重要意义的,是牛顿发现了可以把对数计算用无穷级数展开进行。牛顿后来在进行异常繁杂的天文计算时,这一发现十分有帮助。
 
就在这时,大鼠疫袭来,学校关闭了。牛顿回到了伍尔索普。他很快发现那里的生活干扰他的研究,又搬到汉弗莱·巴宾顿先生的家里,在那里度过了18个月中的大部分时间,这中间他还回过一次剑桥,去查找所需要的资料。那不朽的18个月一开始,牛顿就着手验算自己的无穷级数。在一份极为著名的手稿里,牛顿把一个对数展开为无穷级数,一直把它计算到小数点后第55位,那张草稿中写满了数字和符号。牛顿为了便于计算位数,每隔5位数字就用逗号隔开一次。后来,牛顿在从事天体计算时,大量运用了这种级数展开法,其工作量之大,令人叹为观止。
 
 
在研究级数时,牛顿注意到,要把函数展开为无穷级数必须引入无穷小概念,以保证级数具有收敛特性。这一发现本身就是对数学研究的一项重要贡献。然而,牛顿没有到此止步,他把无穷小引进到笛卡儿的坐标系中,对函数关系中自变量的无穷小量变化与相应的函数变化量之间的比例和关系加以考查,从而发现了有史以来人类所掌握的最为强有力的数学分析工具——微分方法和概念,他当时称之为流数法。
 
有了流数法,牛顿轻而易举地做到了当时人们特别想做而又做不到的事:求一条曲线的切线,求曲线的变化率以及变化率的变化率、求函数的极大值和极小值,用统一方法求曲线所围的面积,等等。牛顿进一步发现,这种流数法可以直接用,也可以反着用。直接用时,可以求出曲线的切线(或函数的导数);反着用,可以由切线求出曲线,或由导数求出函数,还可以十分方便地计算曲线包围的面积。牛顿的流数法和反流数法,就是我们今天所熟知的微分方法和积分方法。
 
微分和积分太重要了。过去,在伽利略、开普勒、笛卡儿和惠更斯等人手里无法求解和困难重重的难题,前人早已研究过的、人们正在研究的和许多尚无人研究的动力学、运动学问题,到了牛顿手里,用流数和反流数法都变成了简单问题。微积分后来成为一切科学研究最基本的计算工具,成为一个人是不是受过正规科学训练的重要标志之一。
 
发现二项式定理和微积分,在数学史上是个重要的里程碑。不过,当时才23岁的牛顿并没有充分意识到这一点。他这时的数学研究已表明他是有史以来最伟大的数学天才之一,但他关心的并不是数学,而是物理世界的结构和运动。在他看来,他新近发明的数学方法只是解题和运算的工具,它们是用来解决物体运动问题的。他敏锐地看出,开普勒的行星运动定律和伽利略的物体运动定律各自所采用的数学表达形式,用他的新方法都可以作出相同的处理:把行星的运行轨道和地面物体的运动轨迹放到适当的笛卡儿坐标系中,连续用流数法求导两次,就能得到某种相同的东西,它对物体和行星的运动起到类似的作用。
 
►牛顿《自然哲学之数学原理》一书中关于月球理论的手稿。
 
有人说,伟大的数学天才牛顿只在世上存在了6个月左右,这期间他几乎同时发明了二项式定理、无穷级数展开、微积分、无穷小概念,还几乎发明了极限概念——这是那不朽的18个月的头三分之一——然后,数学天才牛顿就突然变成了物理学天才牛顿。
 
实际上,就在大鼠疫期间,牛顿就查找了一些关于月球、行星和地球的观测数据,对自己的新理论进行核验。但是,前人的天文观测数据用到牛顿的理论中时,理论与观测值之间出现较大误差。这促使牛顿后来亲自做了许多天文观测和实验研究。另一方面,牛顿当时对于自己提出的新动力学原理,以及用这一原理去处理天体和物体的运动情况,还没有很好掌握;此外,还有大量的数学推导和计算方面的问题需要解决。所有这些,促使牛顿把写好的论文、笔记和手稿放进抽屉里,没有向任何人提起。
 
 
这时的牛顿,真是才思泉涌,处于创造力勃发的最佳状态。在这“心志最苦”的不朽的18个月里,他的思想遨游在抽象的数学王国和神奇的星空之中,忘记了时间,忘记了现实,也忘记了鼠疫就在身边肆虐,那万户萧疏鬼唱歌的惨景似乎从未触动过的他的神经,喷泻而出的超人才智完全控制了他的身心。但他毕竟还是人,也要吃饭睡觉,也会疲倦不堪——他在伏案苦思奋笔疾书之余做些什么呢?
 
他观察太阳光。他终生都有这一爱好,在凝望着太阳光辉的同时陷入沉思,直到去世前几小时,他仍在这样做。
 
愉快的消遣很快变成认真严肃的科学探索。牛顿想到,太阳光经过棱镜发生色散的现象表明,太阳的白光是由上述七种不同颜色的光复合而成的,就是说,太阳光其实不是一种光,而是好几种不同颜色的光按一定比例混合而成的。
 
科学研究的灵魂在于定量研究。牛顿注意到不同颜色的光产生的折射角度不同。他马上意识到,当时人们普遍使用的折射式望远镜必定是不完善的,因为透镜的每一个局部都是某种形式的三棱镜,光通过三棱镜后,不同的颜色成分由于折射率不同不可能会聚在同一点上,这很好地说明了为什么在望远镜中看到的物体的像在边缘上总是有些彩色影像。很明显,从这样的仪器中获得的天文观测数据,其产生的误差不但很大,而且是根本无法避免的。应该再发明一种新的望远镜,它能从根本上避免色差的影响。两年以后,牛顿终于发明出与普通望远镜原理不同的反射式望远镜,彻底消除了色差现象。牛顿的这项研究,是他在那不朽的18个月中作出的又一个重要成果。
 
 
到1666年年初,原先只有46万人口的伦敦市,已被大鼠疫夺去近8万人的生命。然而,上帝好像对人类的罪恶还没有惩罚够似的,9月2日,伦敦燃起一场大火,整整烧了三天。这就是历史上著名的“伦敦大火”,有90座教堂和13000幢民房毁于一旦。从那以后,肆虐近两年的大鼠疫才慢慢消失,人们的生活才恢复了往日的秩序。在这灾难深重的艰难时世里,有谁能想到,上帝把最耀眼夺目的人类智慧之光投射到一个叫牛顿的农民后代的身上,使那难忘的18个月变成不朽的18个月呢?
 
 
这时的牛顿,刚刚大学毕业,还从未发表过研究成果,没有任何名望。但他在这18个月里所发现的和研究的,已足以使他跻身于思想巨人之列。两年后,他才为英国科学界所认识;六年后,成为全欧洲公认的最优秀的数学家和最重要的自然哲学家;20年后,他写就了使他千秋万代声名永驻的最伟大的科学著作,并成为英国无可争议的科学界的领袖和统治者,而他的思想和理论则在世界科学中处于主导地位达300年之久。
 
这时的牛顿并没有想到这些。但他已不再是满身土气的乡下学子,不再是秉性乖戾的剑桥学生。他身上的天才意识和理智的自信心开始觉醒,他将有所成就获得名望,他丝毫也不怀疑这一点。
 
在西方人经常读的《圣经·创世纪》第一章里有这样一句话:上帝说,要有光,就有了光。上帝看光是好的,就把光暗分开了。
 
后来,在牛顿的光辉笼罩着全世界的时候,英国大诗人亚历山大·蒲柏模仿《圣经》中这句著名的话,写下了这样的诗句:
 
自然界和自然界的定律隐藏在黑暗中;
上帝说:“让牛顿去吧!”
于是,一切成为光明。
 
还要再过20年,这光明才真正来临。 
 
 
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