编者按：

 

在北京大学二年级的第二个学期，很多同学会根据自己的专业兴趣，联系对应方向的老师作为导师，并开展贯穿本科后一阶段的本科生科研。两到三年的本研经历，究竟会给热衷数学的同学们带来什么呢？数学技能树中这一重大的buff技能的关键，将通过北京国际数学研究中心研究员刘若川老师的讲述，在这篇文章中揭开。

 

讲述｜刘若川

整理｜叶帆 吴姚

责编｜程莉

 

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1 本研：一种包含运气成分的尝试

 

参加本科生科研需要有一定的基础，没有经过任何数学基础的培养就去做是没有用的。但学数学也不能一辈子打基础，只是空看书的话是学不了什么东西的。数学学习到了一定的程度，就可以尝试着探究一些问题了。

 

本科生科研就是这样一种尝试，不过这种尝试包含着运气的成分，因为当你找一位导师带着你做某一个问题时，你对这个问题本身没有什么了解，也并不可能真正了解，只能说在直观上对这个问题有一些感受。老师只能看你的成绩单怎么样，但对你也不了解。因为成绩单很多时候反映的事情并不全面。又或者老师当时对某个东西感兴趣，抛给你一个相关的问题。这些都是十分随机性的。所以对于本研来说，对问题本身不需要太执着，没有必要一定做出来，更重要的是训练对科研的基本感觉。

 

本科生科研的成果取决于方向和问题。不同方向的本研差别很大，和实际应用相关的数学分支比较容易做出有意义的工作。而基础数学方面，很难指望对数学本身能有什么实质进展，但能对研究生阶段有所帮助。

 

本研的成果也跟题目有关系。有的题目本身光是理解就需要很多时间，积累比较厚的东西。对于这样的问题，就很难在本科期间就做出有意义的东西。当然做数学是在做问题的过程中一点点推进并吸收其他有帮助的知识，就像编一张网一样越来越大，这个过程是不断进行的，没有完结的时候。

 

2 研究中：迅速推进的能力

 

一般老师会给你一个超出你能力水平的问题，依靠你现有的知识是不够的。所以你需要学一些课程之外的东西，但在你学的过程中，甚至直到研究生阶段都会经常遇到论文A引用论文B，论文B又引用论文C，如此一长串儿下去的情况，这会让你不知所措。

 

学基础数学时，面对一个很难的问题，是不可能把所有东西都准备好再去做的。比如PhD的时候，可能过一年后就需要开始做问题。而当你自以为准备好了，却会发现还是有很多东西不懂。所以不能说什么事情都准备好了才能去做，而是要学习在掌握部分东西的情况下，去推进问题的能力。我的导师曾有过一个精辟的总结：研究生阶段的数学是反过来学的——先学结论，再学逻辑。你要先了解这个东西是怎么回事，整个问题是什么样子，然后在这个了解之上一点点推进。

 

比如说这个问题已经准备了5%，那就可以看看这5%里有什么可以改进的地方。在改进的同时，导师也会带你做一些事情，因为他有经验。他可能知道这个问题的100%是什么样子的，而你只要学懂这5%，在这5%里用你的能力往前推进这个问题。其他的95%没必要马上了解，而是可以在以后漫长的职业生涯中把它搞清楚。这和处理实际事务是一样的，都是仅仅掌握了一部分的信息，在此基础上根据感觉和初始的经验往前一点点推进。具体到本科生科研中，就是在拿到一个好多名词看不懂的论文时，如何快速地把这些东西搞懂大半，这一方面的素质尤为重要。

 

很多成绩不错的同学一本一本地读书，读得很仔细，分数也考得很高，因为知识量很小，有充分的时间去准备这些事情。高中时知识量更小，就那几页纸，来回翻那些东西，都能学得很扎实。而本科阶段信息量也不大，时间也相对充裕。但往后走信息量越来越大，这时候就看出你的能力来了。这种能力体现在如果拿到一个很难的东西，能否在一个月之内把最重要的东西搞清楚，次重要的大概知道是什么意思就行了。当然这种经验与能力也需要一定的训练，本研的目的也基本上在于此。有了这种经验之后去读PhD，就不会有不太适应的地方。

 

还有一个重要的能力，就是会讲一个东西。学了一个论文之后，不见得什么东西都懂，但能明白它是怎么一回事，然后能把它脉络清晰地讲给别人听。

 

3 学习误区：“独立”与“扎实”

 

北大的学生独立性很强，但不是什么事情都可以靠自己独立看书解决问题的。看书对于学生是一种标准的学习方式，但不见得就是最有效的学习方式。最有效的学习方式常常是有一个懂的人告诉你应该怎么做这件事情，因为很多时候你看书抓不住重点，但很多东西别人给你讲两下你就懂了。

 

自学能力强当然是件好事，但也是在一定意义下，在别人的指导下去自学。其实研究生阶段基本上也是自学。有的导师大概给一个方向，一个题目，然后就不管了，你觉得你有能力把这个问题搞清楚，然后想一想大概从什么方向入手。他愿意跟你谈，你跟他说说想法。他有经验，可能会告诉你这个路子行不通，但那个方向可能差不多。所以在方向上要有人指导你，但具体他不会管你，所以你还是要有把具体的东西搞懂的能力。

 

本科生还有一个问题就是学了很多东西，但很多时候没有真正学懂。“学懂”是指你能不能扎实地拿来用。有一些知识，哪怕你当时学得很清楚，但过一段时间又模糊了。把一个东西学懂并不是一件容易的事情，学数学到一定阶段以后真的会遇到这个问题。只有你自己独立解决了这个问题以后，你对那个东西才是真的懂了。哪怕你把细节忘了，也很快就可以把它搞懂。这个东西深深地烙在你的脑子里，就像游泳和自行车，必须实践过后才真正能懂。

 

到一定程度以后，新的数学如果不和你已有的知识体系联系在一起就不好学了。很多人的经验说，到了三十几岁就不太容易学习完全新的数学了。定义、定理没问题，但没办法内化到知识体系里面。对真正比较深的数学，想把它内化是很不容易的，你需要有充足的经验。很多大数学家的博士论文做的东西很前沿，但不代表前沿的东西就和最开始的东西之间的知识链是完整的。

 

数学是需要实践的。很多时候结论很漂亮，但是得到结果的过程是艰苦的，中间就会有许多脏活累活。所以实践十分重要，看书、做习题都是实践，但只是最基本的。因为题目很多时候是弄成一个比较好的形状，让你运用现有的理论把它很快地做出来。最好的实践是一些原生态的经验，也就是本研的意义。给你一个问题，叫你从头开始把一个很深的东西搞清楚，甚至还要自己想一想怎么把它往前推进。你有这样一个经验，然后才会慢慢明白什么是internalization。

 

这种实践会花很多时间，但那个时间会比看书花的时间值很多。不要觉得说花了一学期甚至是一年的时间只读懂了这一点点东西，好像没学什么东西。从中得到的经验是很重要的。这就好比踢足球一样。球员为什么要上场踢？上场踢十分钟可能比你在场下练好长时间都要重要。做题目当然很重要，做练习考试都是应该的，但是还得有一个真正的做数学研究的状态。本研的目的就是让你们体会这种状态。这只是说老师们希望同学能够达到这个状态，但还要看实际过程中的具体情况。

 

4 数学之路：搭建自己的知识网

 

数学跟武功一样，有很多种门派。但是学功夫的时候不能说先去少林寺学一年，再去武当派学一年，再去峨眉学一年。而是在少林寺学了三十年，然后再去武当看一看就明白了，虽然少林和武当的内功不一样，但是招式上都是相通的。数学也是类似，即使是很天才的数学家，对数学的学习也不是先在少林学一年，再去武当学一年。每个人精力有限，首要的是把本行的东西先吃透，吃得越透，学习其他东西往往越容易。

 

对于本科生来说，纯数学最基础的工具还是分析、代数、几何，要花时间把这些东西搞得很熟很透。给一个积分，你要会积，这是基本功；就算你不会积，也要大概知道是怎么一回事，哪个东西比较重要。当你未来往后走的时候，比如去一个地方读研究生，肯定要选一个老师。你的老师做什么，你就跟着学什么，有的时候不是你设计的。但是那些基本的东西都要用到，它是组成事情的核心。无论你以后学什么都是最基本的东西在起作用。包括我们现在做问题，有的时候我们做的就是把很难的东西转化成抽象代数和微积分。到最后其实能解决实际问题的还是那些基本的数学工具。所以说虽然多学一些东西没有坏处，但基础课还是要搞得很熟很透。这是有意义的。

 

每个人的知识网都是不一样的，你需要根据自己的知识网来扩张知识结构。在一小块地方做数学，然后一点点扩充你的知识网。扩充包括往前走，就是推进现在的理论，也包括往回走，因为很多历史的片段你是不知道的。你并不理解他原来的思想是怎么上来的。所以你往回走。这样往前走、往回走，你的知识体系才会慢慢地搭建起来。

 

其实数学该怎么学是没什么确定的方法的，也不是说一定要怎么学才能学成。如果本身有数学才华，但是比别人学的少一些，那是没关系的。最重要的还是你做哪个方向，你的导师和你周围环境对你的影响，甚至是一个学科的发展状况。如果恰好赶上了学科的低潮，就可能做不动，可能就会让你不太愉快。当然你特别厉害的话，把低潮做成高潮，那就另当别论。绝大部分人本事都没那么大，甚至一个学科达到高潮都是靠很多人不断的努力。如果能赶上高潮那就很好，可能会比较容易做出很好的东西来，你一下子就有名了，就会让你很开心。所以说最重要的是把基本的东西学扎实之后，能够迅速地进入一个领域，然后把想要的东西抓住。Pick up whateveryou want。

 

本文转自“北大数院人”微信公众号，文字有修订。原标题为“数学技能树丨数学学习的buff——本科生科研”。