财新传媒
位置:博客 > 知识分子 > 夏志宏:趣味数学——分数加法

夏志宏:趣味数学——分数加法

一直想记下多年来身边发生的一些小事,
以此回忆故事中的朋友和过去的岁月。
 
撰文 | 夏志宏
 
上小学时很不喜欢做分数加减法,先得通分,再加减分子,一不小心就会出错。下面是常见的错误:
 
两道题犯了同样的错误:分子加分子,分母加分母。可能你不知道,上面两道题有时是对的,主要看你用在哪里。在概率论里,加法通常就是这么做的。请看下面的例子。
 
两个口袋里装着围棋,假定第一个口袋里有5个黑子,6个白子,取黑子的概率是5/11;第二个口袋里有6个黑子,3个白子,取黑子的概率是6/9。把两个口袋放在一起,取黑子的概率就是11/20。也就是说,5/11的概率加上6/9的概率是11/20。
 
同样,第二道题在概率论里也是对的。
 
因为概率加减法完全不符合分数加减法的基本法则,其结论也就可能违背常识,令人惊叹。
 
我们还是用上面的数字。如图,两张桌子上各放两口袋,
 
桌子甲: 口袋A,5黑子+6白子;口袋B,3黑子+4白子;
桌子乙: 口袋A,6黑子+3白子;口袋B,9黑子+5白子。
 
 
所以还是口袋A中奖概率大。
 
结论:选择B更好,得奖概率更大!是不是有点不可思议?
 
你可能觉得这只是一个数学游戏,事实上这种现象在日常生活中时有发生。
 
两种新药A、B分别在上海和北京测试,效果都是A比B好。但测试数据放在一起时,却发现是B比A好。
 
美国加州大学伯克利分校有个课题组,曾研究女生在研究生录取时是否受到歧视,其文章在《科学》(Science)[1]发表。课题组在两组独立数据下的结论都是女生受到歧视,但数据放在一起后发现,女生并没有受到歧视。
 
在概率论里,上述现象叫辛普森悖论(Simpson’s Paradox),其基本原因就是概率加减法和我们平常加减法不同,由此衍生了很多有趣的数学问题(是的,可以写好几个博士论文)。看似高深的数学有时其实很简单。
 
——2018.5. 深圳
 
加州大学伯克利分校的研究:
P. J. Bickel, E. A. Hammel, J. W. O'Connell. Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley, Science  07 Feb 1975: Vol. 187, Issue 4175, pp. 398-404
DOI: 10.1126/science.187.4175.398



推荐 1