撰文 | 蔡天新（浙江大学数学学院教授）

 

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一个数学问题一旦与素数发生联系，就会变得深刻，难度也骤然增大。——题记

 

1

 

1985年春天，我开始攻读博士学位。那时国内尚没有直接攻博，或硕博连读一说，所以我们是经过考试的。原本，硕士学位需要三年才能拿到，但我和王炜因为论文完成得早，且都已经发表了（那时并没有SCI一说，我们的论文也是在国内刊物发表的），因此得以提前半年毕业。换句话说，我们赶上了七七级同学。

 

说到山大数学系七七级，我认识的人不多，其中有考入北大的张继平，他后来得过陈省身数学奖，做过北大数学学院院长；考入浙大的薛安克，曾多年担任杭州电子科技大学校长。在山大读研的，有从浙师大考来的黄岩老乡潘兴斌，现在是华师大紫江学者。还有许多留学海外的，我在北美的旅途中就见到好几位。

 

第一学期我曾两次从济南去北京出差，算起来分别是我第四次和第五次进京。第一次是大二暑假去北京姑姑家探亲，第二次是研二寒假去大西北时路过，第三次是1984年冬天，我和王炜去北京中关村数学研究所查阅资料。那时候没有电脑或互联网，所有文献都是纸质杂志和书籍，数学所的资料比起山大来更为齐全，因此博士生通常都会去北京，那时候七小时的火车已经算很近了。

 

说实话，我对多数复印的资料不太记得了。印象最深的是数学所资料室的工作人员，她们非常喜欢聊天。一旦进入资料室，不管你是否愿意，京腔都会飘入耳朵。聊天的内容当然与数学无关，而是日常琐事和趣闻，比如某某研究生的恋爱对象，或某某数学家的个人爱好。我后来猜测，由于数学所女性比例极低，她们不自觉地产生一种优越感，以为凡是男性都愿意听她们说话。久而久之，聊天就成为她们对男性的一种精神抚慰。

 

第四次进京是在五一前夕，我停留了一个星期，搭乘的是夜班火车，所谓朝发夕至，平生头一回乘坐了卧铺（硬卧）。出差的事由也与数学无关，而是去参加“首都部分高校大型社会观念变革学术讨论会”。这个会议的出发点是，随着我国经济体制改革日益深入的发展，整个社会生活领域中的某些传统的旧观念旧模式受到了有力挑战，并已开始发生具有划时代意义的变革，如何深入理解和认识这场变革，分析它的现状和发展趋势，是当前理论界的重大课题。

 

虽然我本科和硕士阶段都没有当过学生干部，读博以后却做上了学校研究生会学习部副部长，与我同行的孟祥生同学是宣传部长。他原是历史系七七级，毕业后他去了外交部，现任钓鱼台国宾馆管理局副局长。我之所以当上部长，主要原因恐怕在于，全校研究生住在一个楼里，而我与文理科的同学都比较熟悉。

 

那次讨论会的具体细节我已记不清，甚至举办地是北师大还是人大我也无法确定了。只记得与会人数约三十位，围坐在一张宽两米、长十米左右的大桌子（也可能是好几张桌子拼成）周边。参会者除了北京一些高校的学生代表以外，还有南开、吉大等外地来的同学。我对面刚好是会议邀请来的主要嘉宾、哈佛大学教授杜维明①。这一点不容怀疑，因为那是我第一次面对哈佛教授，我还记得我与杜先生就某个问题发生激辩。这一点也帮助我推测那次会议是在北师大，因杜教授80年代曾在那里访学。

 

杜维明先生那会四十五岁，年富力强。他早年研究宋、明儒学，80年代开始探究儒学思想的现代意义和发展前景，借鉴了哲学人类学、文化人类学、比较文化学、比较宗教学和知识社会学等跨学科研究的方法，被认为是新儒家学派的代表人物，但他自己却喜欢被称作哲学家、思想家，还强调儒家对“新”字有警惕性，一定要算的话也是儒家第三期。

 

杜先生认为，儒学第一期是从先秦到汉，从曲阜时代或中原时代的孔孟之道开始，到独尊儒学。第二期是朱熹复兴儒学，使得儒学文化圈从中国扩大到东亚，包括越南、朝鲜和日本。第三期是现在，从亚洲走向世界，儒学需要用英、法、德语等文字传播。这个划分似有道理，不过李泽厚先生认为汉朝需单独划分，所以应是四期。

 

我个人担心的是，杜先生近年来在中国大陆兼职和头衔过多，分散了精力，例如，北大人文高等研究院院长、长江商学院人文委员会主席、浙大马一浮人文研究中心主任，不一而足。当然，这与大陆高校对自己培养的人才信心不足、信任度有限不无关系。

 

2

 

不到一个月，我又一次进京，这回仍与王炜同行。6月4日，我们乘坐13次沪京特快，比普通快车缩短两小时。这次是去中科院听哥伦比亚大学哥德费尔德教授讲学，他是德国人，1967年获得哥伦比亚大学博士学位，在辗转了伯克利、特拉维夫、普林斯顿、麻省理工、德克萨斯和哈佛等校以后，回母校任教授。哥德费尔德后来曾获柯尔奖，那次主要介绍布朗-梯其马希筛法②。我们在北京停留了十天。

 

那次除了我和王炜，还有北大潘承彪师叔的三位弟子贾朝华、张益唐和罗文智，数学所王元先生的学生张寿武。说到朝华，他后来与我交往甚密，尤其是他任《中国数学会通讯》常务副主编期间，频频催稿，并亲自润色，促成我笔下的数学人物一个个诞生，才有了《数学传奇》这本书。再后来，他与我同为《数学文化》杂志编委，每年夏天见面，来往交流就更多了，他对老北京、围棋、美食颇有研究。朝华的微信名为京城潮叔，作为曾经的全国青联委员，偶尔会与我们分享歌唱家彭丽媛委员的点滴轶事。

 

朝华出生在上海，小时候因为父母分别在南京和北京工作（父亲在解放军通讯工程学院任系主任），他由上海的外婆和宁波鄞县的太外婆轮流抚养。十一岁那年，他被母亲领回家，从此住在北京。七七年他上了北京邮电学院，毕业后考入北大读研，成为潘师叔的大弟子。博士毕业后他又到数学所跟王元做博士后，留所至今。朝华曾在小区间的素数分布等多个经典问题上取得世界领先的成果，与英国大数论学家希斯-布朗合作，在德国《纯粹数学与应用数学》和英国《伦敦数学会会刊》等名刊发表论文。

 

罗文智与朝华同年同月生，两人生日只差八天。他是南京人，本科毕业于中山大学，后来在北京联合大学工作过一年，再考入北大读研。文智和益唐都只跟潘老师读完硕士，便出国留学了，两人先后获得鲁特格斯大学和普渡大学的博士学位。文智的学业无疑更顺利一些，他的博士导师是名教授伊万尼奇，后来又到普林斯顿跟萨那克做博士后，研究自守形式的解析和算术性质。文智较早在《数学年刊》等名刊发表论文，因此顺利找到俄亥俄州立大学的终身教职，并担任《数论杂志》编委。

 

这几位同辈同行中，唯有张益唐与我是第二次谋面，头年夏天我们一起在合肥科大开会，又一起去爬了黄山。虽然如此，我们之间似乎仍不太熟悉，仍只是点点头而已。待我年长以后，我明白那与他的个性有关，但那时我尚缺少阅历，理解不到那一层。益唐比朝华大五岁，也是在上海出生。他是北大七八级的，可能是“文革”北大冲击太深（自杀的数学老师就有好几位），北大数学系七七级没有招生，这让复旦、科大等兄弟学校沾了光。

 

多年以后，当誉满全球的张益唐回到中国，也曾来浙大做客我主持的理学大讲堂，当晚校长和学院领导设宴款待他和他的夫人海伦，我们也曾数度畅饮，我并陪他们去梅家坞品茗，后来我出访洛杉矶，也曾与学生专程驱车前往他任教的圣塔巴巴拉看望，因此有了更多了解。张益唐的母亲姓唐，这可能是他名字的来源，十五岁时他随母亲下放到湖北东南的阳新县，在长江边的“五七”干校生活了几年，后来回京通过招工又进入北京锁厂工作。高考恢复以后，他考了两次才入北大……

 

相比之下，张寿武我最不熟悉，他的经历我近年才从媒体上得知，还有他的几位年轻有为的弟子。张寿武比我年长一岁，安徽和县人，确切地说，是县城西郊的西埠镇五星村人。和县属马鞍山市，该市面积只有四千平方公里，却被长江分为两半。江右是市区和当涂县，我曾去那参拜过李白墓。和县在江左，北宋的“清官”包拯曾出任和县知县，还出过大书法家林散之和中国第一个奥运冠军许海峰。

 

如同《泉城》和《扬州》两篇所写，和县乌江镇曾是西楚霸王项羽自刎之地；一千年以后，唐代诗人刘禹锡在此为官时写下著名的《陋室铭》；又过了三百年，宋代女词人李清照乘船路过，留下名诗《夏日绝句》，“生当作人杰，死亦为鬼雄。至今思项羽，不肯过江东。”原来，长江流经此地时，基本是垂直的南北向了。

 

1980年，张寿武从和县一中毕业，考入中山大学化学系，后谎称色盲才转入数学系，三年后即毕业并考取中科院数学所研究生，师从王元。那段时间张寿武发现王元擅长的解析数论他并不得心应手，因此看了同调代数、L函数、自守函数、代数几何等方面的书籍，哥德费尔德来讲学时他坐第一排听课，擦黑板最认真，不讲课时他奉元老之命陪同游玩京城。

 

后来，张寿武在托福考试成绩不够理想的情况下，仍获得哥伦比亚大学的全额奖学金去了美国。他在来访的法国数学家斯匹若指导下获得博士学位，后又去普林斯顿跟菲尔兹奖得主法尔廷斯做博士后，现任普林斯顿大学教授。再次见到张寿武已是22年以后，在杭州举办的华人数学家大会上，浙大校友励建书教授特意介绍，我们相互致意问候。

 

3

 

1998年，张寿武应邀在柏林国际数学家大会上作四十五分钟报告，2011年当选美国艺术和科学学院院士，他的研究方向是算术代数几何，这是代数几何的一个分支，是指所有以数论为背景或目的的代数几何。所谓代数几何是将抽象代数，特别是交换代数，同几何结合起来的数学分支。这是典型的边缘学科，需要许多领域的知识，包括数论、模形式、表示论、代数几何、李群、多复变函数、黎曼曲面、K理论，等等。

 

丢番图方程是算术代数几何的重要课题，这是它的生命力所在。写到这里，读者可能想起前面提及的新儒家杜维明先生的研究方法，也是以跨领域见长，这对于在国内受教育的人来说是个挑战。上个世纪后期，随着莫德尔猜想、费尔马大定理等丢番图方程问题先后被攻克（每一个都轰动一时，尤其是后者，被誉为20世纪的数学成就），算术代数几何和代数数论可谓风靡一时。

 

相比之下，解析数论已经沉寂多年了。所谓解析数论是数论中以分析方法作为研究工具的一个分支，是在初等数论方法无法解决的情况下发展起来的，可以追溯到18世纪的欧拉时代，最典型的问题是孪生素数猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想。这方面自从1966年陈景润有关哥德巴赫猜想的研究成果宣布以来，就再也没有激动人心的突破了。

 

上述五个问题中，除了莫德尔猜想③，均与素数直接有关，它们也是数学史上最有名的猜想和问题。所谓素数或质数是指这样的正整数，除了1和自身以外，没有别的正整数可以整除它们。可以这么说，一个数学问题一旦与素数发生联系，就会变得深刻，难度也骤然增大。最小的十个素数是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，其中3和5、5和7、11和13、17和19只相差2，被称为孪生素数。著名的孪生素数猜想说的是，存在无穷多对孪生素数。

 

显而易见，除了2是偶数以外，其余素数均为奇数。哥德巴赫猜想也与素数有关，是指每个大于4的偶数均可表示成两个奇素数之和，例如6=3+3, 8=3+5, 10=3+7=5+5。费尔马大定理的等价形式是，对任意奇素数p，不存在正整数x，y，z,使得其中两个的 p次幂之和等于第三个的 p次幂。由莫德尔猜想也可以导出，对每个固定的奇素数 p，上述方程至多有有限个解。而黎曼猜想（被认为数学史上最伟大的猜想）是关于黎曼zeta函数的零点分布的，这个函数本身的定义就与素数有关。

 

2013年5月的一天，在数论圈“消失”二十多年以后，张益唐惊艳亮相④，他用精细而耐心的解析方法证明了：存在无穷多对素数，它们之间的距离不超过七千万。假如把七千万缩小到 2，便是孪生素数猜想。这个结果轰动了世界，加上他的个人经历和励志故事，很快被《纽约客》和《纽约时报》等主流媒体大篇幅报道，同时他也获得了诸如柯尔奖、罗夫·肖克奖、麦克阿瑟天才奖、求是杰出科学家奖等奖项。接下来的一年多时间里，经全世界同行通力合作，七千万这个数字迅速下降，变成了246。2014年，在首尔国际数学家大会闭幕式上，张益唐应邀做了一小时报告。

 

值得一提的是，除了以上几个问题和猜想以外，还有一个大名鼎鼎的abc猜想也与素数有关，它诞生于1985年，即哥德费尔德访华的那一年。由不太出名的法国数学家奥斯达利和英国数学家马瑟各自独立提出，不过那时候以及后来相当长的时间里，我们都没有听说过。现在大家都知道，假如abc猜想成立，那么包括费尔马大定理在内的四项菲尔兹奖成果可以轻松推出，其难度相当于小学奥数题。

 

假设 a,b,c都是正整数，满足a+b=c，rad(abc)表示abc的不同素数因子的乘积，则abc猜想的弱形式是：c不超过rad(abc)的平方。例如，1+8=9，则c=9,rad(abc)=6，9小于6的平方36。事实上，当a和b不超过50时，2500对组合中除了{1,8,9}，{5,27,32}，{1,48,49}和{32,49,81}这4组以外，其余数组中的 c均不超过rad(abc)。尽管如此简明和重要，数学家们仍无法证明这个猜想。

 

2012年夏天，曾成功证明半几何领域的格罗滕迪克猜想的日本数学家、京都大学教授、法尔廷斯的学生望月新一在互联网上发布了abc猜想的证明，一时间吸引了全世界同行和媒体的关注，包括华裔数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在内的大家均给予正面评价。遗憾的是，虽然无人发现漏洞，却有相当一部分内容无人看懂。近来望月新一声称，他依然相信自己的证明，会在10年代给出令人信服的解释。

 

相比以上提及的中外同行，作者深感惭愧。因为所受教育和知识的局限，更由于自身才智和努力不够，既没有进入那些最新的研究领域，也没有在经典问题上有所贡献。万幸的是，在所谓数学研究的黄金年龄以后，过去六年多来，我受abc猜想的形式启发，把整数的加法和乘法结合起来，提出一些新的想法，并借此对那几个经典数论问题做了诠释和拓广，也包括前文未曾提及的完美数问题、华林问题、埃及分数，等等。

 

这其中，华林问题的历史最短，但也将近两个半世纪了。我们提出的新华林问题的一个特例说的是：除了2、5和11，每个素数均可表示成三个正整数的和，它们的乘积是一个立方数。例如，3 = 1+1+1, 而1·1·1 = 1为 1的立方；7 = 1+2+4,而1·2·4 = 8 为 2的立方，……结论比老华林问题简洁、漂亮，难度恐怕是同等的。我们已经验证了，此论断对10000以内的素数成立，但却无法给予证明。

 

这些问题收录在我与几位学生合写的论文里，已陆续在数论专业名刊上亮相，同时也出现在我本人的中、英文版著作《数之书》中。其中新华林问题的研究获得英国数学家、菲尔兹奖得主贝克的赞扬，平方完美数的结果发表第二年即成为《国际数论杂志》史上读者最多的一篇论文，而我提出的那类丢番图方程也被德国数学家米哈伊内斯库赞为“阴阳方程”。我希望，我们不总是跟在老外们后头。米哈伊内斯库在给我的信中指出（他本人最近刚访问了中国），“未来这些问题的重要性如何，要看你的运气了”。换句话说，取决于谁对她们感兴趣了。

 

①杜维明（1940-），祖籍广东，出生于昆明。毕业于台湾东海大学，后赴美留学。获哈佛大学博士学位后，先是在普林斯顿和伯克利任教，1981年回母校哈佛，担任东亚语言和文明系主任。

 

②筛法是解析数论的重要工具，肇始于古希腊的全才厄拉托色尼。布朗是挪威数学家，梯其玛希是英国数学家、牛津大学教授，北大教授闵嗣鹤在他指导下获得博士学位，潘师承洞又是闵先生的学生。

 

③莫代尔猜测是说，有理数域上亏格大于 1的曲线至多有有限个有理点。1983年，此猜想被在名不见经传的德国乌珀塔尔大学任教的法尔廷斯证明，随后他被聘请到普林斯顿，并获得1986年菲尔兹奖。

 

④张益唐在美国念的是代数数论，博士导师是来自台湾的莫宗坚。他的博士论文证明了雅可比猜想，后来发现依赖的一个引理有误。孪生素数猜想的突破性进展，让他在解析数论领域杀了一个漂亮的回马枪。

 

作者介绍：

 

蔡天新，山东大学理学博士、浙江大学数学学院教授。有文学和学术著作20多部，外版著作10多部。借高考恢复40周年（也是他本人获博士学位30周年）之际，蔡天新回忆了他的9年大学生活，可谓是一个少年大学生的成长史，也描述了他文理兼修的心路历程。本文与5月29日刊载的《神童维纳：信息时代之父》是其中的两篇。