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蔡天新:记忆中和素数有关的人和事

►蔡天新著《数之书》
 
撰文 | 蔡天新(浙江大学数学学院教授)
 
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一个数学问题一旦与素数发生联系,就会变得深刻,难度也骤然增大。——题记
 
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1985年春天,我开始攻读博士学位。那时国内尚没有直接攻博,或硕博连读一说,所以我们是经过考试的。原本,硕士学位需要三年才能拿到,但我和王炜因为论文完成得早,且都已经发表了(那时并没有SCI一说,我们的论文也是在国内刊物发表的),因此得以提前半年毕业。换句话说,我们赶上了七七级同学。
 
说到山大数学系七七级,我认识的人不多,其中有考入北大的张继平,他后来得过陈省身数学奖,做过北大数学学院院长;考入浙大的薛安克,曾多年担任杭州电子科技大学校长。在山大读研的,有从浙师大考来的黄岩老乡潘兴斌,现在是华师大紫江学者。还有许多留学海外的,我在北美的旅途中就见到好几位。
 
第一学期我曾两次从济南去北京出差,算起来分别是我第四次和第五次进京。第一次是大二暑假去北京姑姑家探亲,第二次是研二寒假去大西北时路过,第三次是1984年冬天,我和王炜去北京中关村数学研究所查阅资料。那时候没有电脑或互联网,所有文献都是纸质杂志和书籍,数学所的资料比起山大来更为齐全,因此博士生通常都会去北京,那时候七小时的火车已经算很近了。
 
说实话,我对多数复印的资料不太记得了。印象最深的是数学所资料室的工作人员,她们非常喜欢聊天。一旦进入资料室,不管你是否愿意,京腔都会飘入耳朵。聊天的内容当然与数学无关,而是日常琐事和趣闻,比如某某研究生的恋爱对象,或某某数学家的个人爱好。我后来猜测,由于数学所女性比例极低,她们不自觉地产生一种优越感,以为凡是男性都愿意听她们说话。久而久之,聊天就成为她们对男性的一种精神抚慰。
 
第四次进京是在五一前夕,我停留了一个星期,搭乘的是夜班火车,所谓朝发夕至,平生头一回乘坐了卧铺(硬卧)。出差的事由也与数学无关,而是去参加“首都部分高校大型社会观念变革学术讨论会”。这个会议的出发点是,随着我国经济体制改革日益深入的发展,整个社会生活领域中的某些传统的旧观念旧模式受到了有力挑战,并已开始发生具有划时代意义的变革,如何深入理解和认识这场变革,分析它的现状和发展趋势,是当前理论界的重大课题。
 
虽然我本科和硕士阶段都没有当过学生干部,读博以后却做上了学校研究生会学习部副部长,与我同行的孟祥生同学是宣传部长。他原是历史系七七级,毕业后他去了外交部,现任钓鱼台国宾馆管理局副局长。我之所以当上部长,主要原因恐怕在于,全校研究生住在一个楼里,而我与文理科的同学都比较熟悉。
 
那次讨论会的具体细节我已记不清,甚至举办地是北师大还是人大我也无法确定了。只记得与会人数约三十位,围坐在一张宽两米、长十米左右的大桌子(也可能是好几张桌子拼成)周边。参会者除了北京一些高校的学生代表以外,还有南开、吉大等外地来的同学。我对面刚好是会议邀请来的主要嘉宾、哈佛大学教授杜维明①。这一点不容怀疑,因为那是我第一次面对哈佛教授,我还记得我与杜先生就某个问题发生激辩。这一点也帮助我推测那次会议是在北师大,因杜教授80年代曾在那里访学。
 
杜维明先生那会四十五岁,年富力强。他早年研究宋、明儒学,80年代开始探究儒学思想的现代意义和发展前景,借鉴了哲学人类学、文化人类学、比较文化学、比较宗教学和知识社会学等跨学科研究的方法,被认为是新儒家学派的代表人物,但他自己却喜欢被称作哲学家、思想家,还强调儒家对“新”字有警惕性,一定要算的话也是儒家第三期。
 
杜先生认为,儒学第一期是从先秦到汉,从曲阜时代或中原时代的孔孟之道开始,到独尊儒学。第二期是朱熹复兴儒学,使得儒学文化圈从中国扩大到东亚,包括越南、朝鲜和日本。第三期是现在,从亚洲走向世界,儒学需要用英、法、德语等文字传播。这个划分似有道理,不过李泽厚先生认为汉朝需单独划分,所以应是四期。
 
我个人担心的是,杜先生近年来在中国大陆兼职和头衔过多,分散了精力,例如,北大人文高等研究院院长、长江商学院人文委员会主席、浙大马一浮人文研究中心主任,不一而足。当然,这与大陆高校对自己培养的人才信心不足、信任度有限不无关系。
 
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不到一个月,我又一次进京,这回仍与王炜同行。6月4日,我们乘坐13次沪京特快,比普通快车缩短两小时。这次是去中科院听哥伦比亚大学哥德费尔德教授讲学,他是德国人,1967年获得哥伦比亚大学博士学位,在辗转了伯克利、特拉维夫、普林斯顿、麻省理工、德克萨斯和哈佛等校以后,回母校任教授。哥德费尔德后来曾获柯尔奖,那次主要介绍布朗-梯其马希筛法②。我们在北京停留了十天。
 
那次除了我和王炜,还有北大潘承彪师叔的三位弟子贾朝华、张益唐和罗文智,数学所王元先生的学生张寿武。说到朝华,他后来与我交往甚密,尤其是他任《中国数学会通讯》常务副主编期间,频频催稿,并亲自润色,促成我笔下的数学人物一个个诞生,才有了《数学传奇》这本书。再后来,他与我同为《数学文化》杂志编委,每年夏天见面,来往交流就更多了,他对老北京、围棋、美食颇有研究。朝华的微信名为京城潮叔,作为曾经的全国青联委员,偶尔会与我们分享歌唱家彭丽媛委员的点滴轶事。
 
朝华出生在上海,小时候因为父母分别在南京和北京工作(父亲在解放军通讯工程学院任系主任),他由上海的外婆和宁波鄞县的太外婆轮流抚养。十一岁那年,他被母亲领回家,从此住在北京。七七年他上了北京邮电学院,毕业后考入北大读研,成为潘师叔的大弟子。博士毕业后他又到数学所跟王元做博士后,留所至今。朝华曾在小区间的素数分布等多个经典问题上取得世界领先的成果,与英国大数论学家希斯-布朗合作,在德国《纯粹数学与应用数学》和英国《伦敦数学会会刊》等名刊发表论文。
 
罗文智与朝华同年同月生,两人生日只差八天。他是南京人,本科毕业于中山大学,后来在北京联合大学工作过一年,再考入北大读研。文智和益唐都只跟潘老师读完硕士,便出国留学了,两人先后获得鲁特格斯大学和普渡大学的博士学位。文智的学业无疑更顺利一些,他的博士导师是名教授伊万尼奇,后来又到普林斯顿跟萨那克做博士后,研究自守形式的解析和算术性质。文智较早在《数学年刊》等名刊发表论文,因此顺利找到俄亥俄州立大学的终身教职,并担任《数论杂志》编委。
 
这几位同辈同行中,唯有张益唐与我是第二次谋面,头年夏天我们一起在合肥科大开会,又一起去爬了黄山。虽然如此,我们之间似乎仍不太熟悉,仍只是点点头而已。待我年长以后,我明白那与他的个性有关,但那时我尚缺少阅历,理解不到那一层。益唐比朝华大五岁,也是在上海出生。他是北大七八级的,可能是“文革”北大冲击太深(自杀的数学老师就有好几位),北大数学系七七级没有招生,这让复旦、科大等兄弟学校沾了光。
 
多年以后,当誉满全球的张益唐回到中国,也曾来浙大做客我主持的理学大讲堂,当晚校长和学院领导设宴款待他和他的夫人海伦,我们也曾数度畅饮,我并陪他们去梅家坞品茗,后来我出访洛杉矶,也曾与学生专程驱车前往他任教的圣塔巴巴拉看望,因此有了更多了解。张益唐的母亲姓唐,这可能是他名字的来源,十五岁时他随母亲下放到湖北东南的阳新县,在长江边的“五七”干校生活了几年,后来回京通过招工又进入北京锁厂工作。高考恢复以后,他考了两次才入北大……
 
相比之下,张寿武我最不熟悉,他的经历我近年才从媒体上得知,还有他的几位年轻有为的弟子。张寿武比我年长一岁,安徽和县人,确切地说,是县城西郊的西埠镇五星村人。和县属马鞍山市,该市面积只有四千平方公里,却被长江分为两半。江右是市区和当涂县,我曾去那参拜过李白墓。和县在江左,北宋的“清官”包拯曾出任和县知县,还出过大书法家林散之和中国第一个奥运冠军许海峰。
 
如同《泉城》和《扬州》两篇所写,和县乌江镇曾是西楚霸王项羽自刎之地;一千年以后,唐代诗人刘禹锡在此为官时写下著名的《陋室铭》;又过了三百年,宋代女词人李清照乘船路过,留下名诗《夏日绝句》,“生当作人杰,死亦为鬼雄。至今思项羽,不肯过江东。”原来,长江流经此地时,基本是垂直的南北向了。
 
1980年,张寿武从和县一中毕业,考入中山大学化学系,后谎称色盲才转入数学系,三年后即毕业并考取中科院数学所研究生,师从王元。那段时间张寿武发现王元擅长的解析数论他并不得心应手,因此看了同调代数、L函数、自守函数、代数几何等方面的书籍,哥德费尔德来讲学时他坐第一排听课,擦黑板最认真,不讲课时他奉元老之命陪同游玩京城。
 
后来,张寿武在托福考试成绩不够理想的情况下,仍获得哥伦比亚大学的全额奖学金去了美国。他在来访的法国数学家斯匹若指导下获得博士学位,后又去普林斯顿跟菲尔兹奖得主法尔廷斯做博士后,现任普林斯顿大学教授。再次见到张寿武已是22年以后,在杭州举办的华人数学家大会上,浙大校友励建书教授特意介绍,我们相互致意问候。
 
3
 
1998年,张寿武应邀在柏林国际数学家大会上作四十五分钟报告,2011年当选美国艺术和科学学院院士,他的研究方向是算术代数几何,这是代数几何的一个分支,是指所有以数论为背景或目的的代数几何。所谓代数几何是将抽象代数,特别是交换代数,同几何结合起来的数学分支。这是典型的边缘学科,需要许多领域的知识,包括数论、模形式、表示论、代数几何、李群、多复变函数、黎曼曲面、K理论,等等。
 
丢番图方程是算术代数几何的重要课题,这是它的生命力所在。写到这里,读者可能想起前面提及的新儒家杜维明先生的研究方法,也是以跨领域见长,这对于在国内受教育的人来说是个挑战。上个世纪后期,随着莫德尔猜想、费尔马大定理等丢番图方程问题先后被攻克(每一个都轰动一时,尤其是后者,被誉为20世纪的数学成就),算术代数几何和代数数论可谓风靡一时。
 
相比之下,解析数论已经沉寂多年了。所谓解析数论是数论中以分析方法作为研究工具的一个分支,是在初等数论方法无法解决的情况下发展起来的,可以追溯到18世纪的欧拉时代,最典型的问题是孪生素数猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想。这方面自从1966年陈景润有关哥德巴赫猜想的研究成果宣布以来,就再也没有激动人心的突破了。
 
上述五个问题中,除了莫德尔猜想③,均与素数直接有关,它们也是数学史上最有名的猜想和问题。所谓素数或质数是指这样的正整数,除了1和自身以外,没有别的正整数可以整除它们。可以这么说,一个数学问题一旦与素数发生联系,就会变得深刻,难度也骤然增大。最小的十个素数是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29,其中3和5、5和7、11和13、17和19只相差2,被称为孪生素数。著名的孪生素数猜想说的是,存在无穷多对孪生素数。
 
显而易见,除了2是偶数以外,其余素数均为奇数。哥德巴赫猜想也与素数有关,是指每个大于4的偶数均可表示成两个奇素数之和,例如6=3+3, 8=3+5, 10=3+7=5+5。费尔马大定理的等价形式是,对任意奇素数p,不存在正整数x,y,z,使得其中两个的 p次幂之和等于第三个的 p次幂。由莫德尔猜想也可以导出,对每个固定的奇素数 p,上述方程至多有有限个解。而黎曼猜想(被认为数学史上最伟大的猜想)是关于黎曼zeta函数的零点分布的,这个函数本身的定义就与素数有关。
 
2013年5月的一天,在数论圈“消失”二十多年以后,张益唐惊艳亮相④,他用精细而耐心的解析方法证明了:存在无穷多对素数,它们之间的距离不超过七千万。假如把七千万缩小到 2,便是孪生素数猜想。这个结果轰动了世界,加上他的个人经历和励志故事,很快被《纽约客》和《纽约时报》等主流媒体大篇幅报道,同时他也获得了诸如柯尔奖、罗夫·肖克奖、麦克阿瑟天才奖、求是杰出科学家奖等奖项。接下来的一年多时间里,经全世界同行通力合作,七千万这个数字迅速下降,变成了246。2014年,在首尔国际数学家大会闭幕式上,张益唐应邀做了一小时报告。
 
值得一提的是,除了以上几个问题和猜想以外,还有一个大名鼎鼎的abc猜想也与素数有关,它诞生于1985年,即哥德费尔德访华的那一年。由不太出名的法国数学家奥斯达利和英国数学家马瑟各自独立提出,不过那时候以及后来相当长的时间里,我们都没有听说过。现在大家都知道,假如abc猜想成立,那么包括费尔马大定理在内的四项菲尔兹奖成果可以轻松推出,其难度相当于小学奥数题。
 
假设 a,b,c都是正整数,满足a+b=c,rad(abc)表示abc的不同素数因子的乘积,则abc猜想的弱形式是:c不超过rad(abc)的平方。例如,1+8=9,则c=9,rad(abc)=6,9小于6的平方36。事实上,当a和b不超过50时,2500对组合中除了{1,8,9},{5,27,32},{1,48,49}和{32,49,81}这4组以外,其余数组中的 c均不超过rad(abc)。尽管如此简明和重要,数学家们仍无法证明这个猜想。
 
2012年夏天,曾成功证明半几何领域的格罗滕迪克猜想的日本数学家、京都大学教授、法尔廷斯的学生望月新一在互联网上发布了abc猜想的证明,一时间吸引了全世界同行和媒体的关注,包括华裔数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在内的大家均给予正面评价。遗憾的是,虽然无人发现漏洞,却有相当一部分内容无人看懂。近来望月新一声称,他依然相信自己的证明,会在10年代给出令人信服的解释。
 
相比以上提及的中外同行,作者深感惭愧。因为所受教育和知识的局限,更由于自身才智和努力不够,既没有进入那些最新的研究领域,也没有在经典问题上有所贡献。万幸的是,在所谓数学研究的黄金年龄以后,过去六年多来,我受abc猜想的形式启发,把整数的加法和乘法结合起来,提出一些新的想法,并借此对那几个经典数论问题做了诠释和拓广,也包括前文未曾提及的完美数问题、华林问题、埃及分数,等等。
 
这其中,华林问题的历史最短,但也将近两个半世纪了。我们提出的新华林问题的一个特例说的是:除了2、5和11,每个素数均可表示成三个正整数的和,它们的乘积是一个立方数。例如,3 = 1+1+1, 而1·1·1 = 1为 1的立方;7 = 1+2+4,而1·2·4 = 8 为 2的立方,……结论比老华林问题简洁、漂亮,难度恐怕是同等的。我们已经验证了,此论断对10000以内的素数成立,但却无法给予证明。
 
这些问题收录在我与几位学生合写的论文里,已陆续在数论专业名刊上亮相,同时也出现在我本人的中、英文版著作《数之书》中。其中新华林问题的研究获得英国数学家、菲尔兹奖得主贝克的赞扬,平方完美数的结果发表第二年即成为《国际数论杂志》史上读者最多的一篇论文,而我提出的那类丢番图方程也被德国数学家米哈伊内斯库赞为“阴阳方程”。我希望,我们不总是跟在老外们后头。米哈伊内斯库在给我的信中指出(他本人最近刚访问了中国),“未来这些问题的重要性如何,要看你的运气了”。换句话说,取决于谁对她们感兴趣了。
 
①杜维明(1940-),祖籍广东,出生于昆明。毕业于台湾东海大学,后赴美留学。获哈佛大学博士学位后,先是在普林斯顿和伯克利任教,1981年回母校哈佛,担任东亚语言和文明系主任。
 
②筛法是解析数论的重要工具,肇始于古希腊的全才厄拉托色尼。布朗是挪威数学家,梯其玛希是英国数学家、牛津大学教授,北大教授闵嗣鹤在他指导下获得博士学位,潘师承洞又是闵先生的学生。
 
③莫代尔猜测是说,有理数域上亏格大于 1的曲线至多有有限个有理点。1983年,此猜想被在名不见经传的德国乌珀塔尔大学任教的法尔廷斯证明,随后他被聘请到普林斯顿,并获得1986年菲尔兹奖。
 
④张益唐在美国念的是代数数论,博士导师是来自台湾的莫宗坚。他的博士论文证明了雅可比猜想,后来发现依赖的一个引理有误。孪生素数猜想的突破性进展,让他在解析数论领域杀了一个漂亮的回马枪。
 
作者介绍:
 
蔡天新,山东大学理学博士、浙江大学数学学院教授。有文学和学术著作20多部,外版著作10多部。借高考恢复40周年(也是他本人获博士学位30周年)之际,蔡天新回忆了他的9年大学生活,可谓是一个少年大学生的成长史,也描述了他文理兼修的心路历程。本文与5月29日刊载的《神童维纳:信息时代之父》是其中的两篇。
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